Валюация — обобщение понятия меры, обычно определяемое на выпуклых множествах евклидова пространства.
Определение Пусть — класс всех не пустых компактных выпуклых множеств в . Валюация на есть функция такая, что равенство
выполняется для любых таких, что ,
Замечания Валюация называется непрерывной, если она непрерывна относительно метрики Хаусдорфа. Валюация называется инвариантной относительно движений, если для любого движения φ и любого выполняется
Примеры Средняя поперечная мера -ая средняя поредняя поперечная мера тела определяется как средняя -мерная площадь проекций на -мерные плоскости.
В частности, — объём , — пропорциональна площади поверхности .
Валюация Дирака Валюация Дирака точки определяется как
Свойства Теорема Хадвигера: любая непрерывная валюация, инвариантная относительно движений, может быть представлена в виде линейной комбинации поперечных мер. Любая валюация на целых многогранниках, инвариантная относительно целых сдвигов и , выражается как линейная комбинация коэффициентов многочлена Эрхарта.Betke, Ulrich; Kneser, Martin (1985) Zerlegungen und Bewertungen von Gitterpolytopen, J. Reine Angew. Math. 358, 202-208.
Литература Семён Алескер Введение в теорию валюаций на выпуклых множествах Видеозаписи лекций, Летняя математическая школа «Алгебра и геометрия» 25—31 июля, 2014 Ярославль
Примечания
Категория:Теория меры