Группа Лоренца является группой Ли симметрий пространства-времени в специальной теории относительности. Эта группа может быть реализована как набор матриц, линейных преобразований или унитарных операторов на некотором гильбертовом пространстве. Группа имеет различные представления. В любой релятивистски инвариантной физической теории эти представления как-то должны быть отраженыСпособ, в котором они вводятся, может принимать разные формы в зависимости от обсуждаемой теории. Некоторые детали этих способов здесь не освещены, но отражены в сносках и в секции «Приложения».. Сама физика должна быть сделана на их основе. Более того, специальная теория относительности вместе с квантовой механикой являются двумя физическими теориями, которые тщательно проверены; «Если окажется, что система не описывается квантовой теорией поля, это будет сенсацией. Если окажется, что она не подчиняется правилам квантовой механики и теории относительностиa, это будет катаклизм.» и объединение этих двух теорий сводится к изучению бесконечномерных унитарных представлений группы Лоренца. Это имеет как историческую важность в основном течении в теоретической физике, так и связи с более спекулятивными теориями настоящего времени.

Полная теория конечномерных представлений алгебры Ли группы Лоренца выводится с использованием общих рамок теории представлений полупростых алгебр Ли. Конечномерные представления связной компоненты полной группы Лоренца получаются путём использования и экспоненты матрицы. Полная теория конечномерных представлений универсальной накрывающей группы (а также спинорной группы, двойное покрытие) компоненты получается, и явно задаётся в терминах действия на пространстве функций на представлениях групп и . Представления обращения времени и инверсии пространства даны в разделе «Инверсия пространства и обращение времени», завершая конечномерную теорию для полной группы Лоренца. Кратко изложены общие свойства представлений (m, n). Рассматривается действие на пространствах функций с действиями на сферических гармониках и P-символах Римана в качестве примеров. Бесконечномерный случай неприводимых унитарных представлений конкретизирован для главной серии и . Наконец, дана формула Планшереля для и представления группы классифицированы и реализованы для алгебр Ли.

За разработкой теории представлений последовала разработка более общей теории представлений полупростых групп, в основном благодаря Эли Жозефу Картану и Герману Вейлю, но группа Лоренца получила особое внимание ввиду важности в физике. Существенный вклад в теорию для групп Лоренца внесли физик Юджин Вигнер и математик Валентин Баргман с их программой Баргмана — Вигнера, одно из заключений которой, грубо говоря, классификация всех унитарных представлений неоднородной группы Лоренца сводится к классификации всех возможных релятивистских уравнений. Классификацию неприводимых бесконечномерных представлений группы Лоренца установил PhD-кандидат Поля Дирака в теоретической физике Хариш-Чандра, позднее ставший математикомв 1945 году Хариш-Чандра навестил Дирака в Кембридже. Он пришёл к выводу, что он непригоден для теоретической физики. Хариш-Чандра нашёл ошибку в доказательстве Дирака в его работе о группе Лоренца, однако Дирак сказал: «Я не интересуюсь доказательствами, а интересуюсь только природой происходящего.»<p> Хариш-Чандра позднее написал: «Это замечание подтвердило моё растущее убеждение, что у меня нет чудесного шестого чувства, которое нужно для успеха в физике, и я вскоре решил перейти в математики.»<p> Дирак, однако предложил ему тему для работы — классификация неприводимых бесконечномерных представлений группы Лоренца.<p>См. статью Далица и Пайерлса в 1947. Соответствующая классификация для группы была опубликована независимо Баргманом и Израилем Моисеевичем Гельфандом вместе с Марком Ароновичем Наймарком в том же годуИ. М. Гельфанд, М. А. Наймарк, Унитарные представления группы Лоренца, Изв. АН СССР. Сер. матем., 11:5 (1947), 411–504.

Неформальное введение содержит некоторые предварительные требования к читателю, не знакомому с теорией представлений. Стандартные результаты, использованные здесь из общей теории конечномерных представлений, очерчены в разделе «Введение в теорию конечномерных представлений». Базис алгебры Ли и другие соглашения представлены в разделе «Соглашения и базисы алгебры Ли».

Неформальное введение в теорию представлений Симметрия пространства и времени

Пространство само по себе обладает симметрией. Оно выглядит одинаково, как бы вы не вращали его, и вращательная симметрия рассматривается как изотропия пространства. В данном случае обычно используются , что означает, что наблюдательНегласно всегда предполагается, что каждая инерциальная система отсчёта имеет выделенного лоренцева наблюдателя, т. е. кого-то, кто обладает, в принципе, полным набором информации (т. е. координат!) любого события, наблюдаемого в этой системе отсчёта. вращается сам. Математически, активная операция вращения осуществляется путём умножения радиус-векторов на матрицу поворота. выполняется только путём вращения базисных векторов координатной системы (координатную систему можно считать закреплённой к вращающемуся наблюдателю, физически вращается наблюдатель). Таким образом, любая точка пространства получает новые координаты, как будто бы вращалось пространство.

Группа Лоренца содержит все матрицы вращения, продолженные на четвёртое измерение, с нулями в первой строке и первом столбце, за исключением верхнего левого элемента, который равен единице.

Имеются, кроме того, матрицы, которые выполняют лоренцевские бусты (пространственно-временные вращения). Их можно рассматривать, при пассивном наблюдении, как (постоянно!) задающие скорость координатной системы (а с нею и наблюдателя) в выбранном направлении.

Наконец, используются два специальных преобразования для обращения координатной системы в пространстве — инверсия пространства, а во времени — обращение времени. В первом случае обращаются пространственные оси координат. Во втором случае обращается направление времени. Это можно рассматривать при пассивном наблюдении как установка наблюдателем хода часов назад, так что часы идут против обычного хода часовой стрелки. Физическое время идёт вперёд.

Математически группа Лоренца определяется как множество преобразований, сохраняющих билинейную форму

в которой левая сторона является скалярным произведением Минковского двух событий в пространстве-времени, а правая сторона является пространственно-временным интервалом, см. статью для математических деталей.

Преобразования Лоренца

В пространстве-времени специальной теории относительности, которое называется пространством Минковского, пространство и время переплетаются. Тогда четыре координаты точек в пространстве-времени, называемые событиями, меняются неожиданным (до появления специальной теории относительности) образом с замедлением времени и сокращением длины как два немедленных следствия. Четырёхмерные матрицы преобразований Лоренца составляют группу Лоренца. Её элементы представляют симметрии и, подобно физическим объектам, могут вращаться с помощью матриц вращения, физические объекты (координаты которых теперь включают координату времени) могут быть преобразованы с помощью матриц, представляющих преобразования Лоренца. В частности, 4-вектор, представляющий событие в системе отсчёта Лоренца преобразуется как

или в краткой форме

Таблица умножения и представления

Основная особенность любой конечной группы — её таблица умножения, называемая также таблицей Кэли, в которой записаны результаты умножения двух элементов. Представление группы можно рассматривать как новый набор элементов, конечномерных и бесконечномерных матриц, дающих ту же таблицу произведений после отображения старых элементов в новые взаимнооднозначноВ действительности не требуется, чтобы отображение было взаимнооднозначным. Просто требуется, чтобы отображение было гомоморфмзмом групп, т. е. в некоторую полную линейную группу некоторого векторного пространства . (Допускается, чтобы векторное пространство было бесконечномерными, например, гильбертовым пространством . В этом случае говорят о , линейных операторах на , а не о .. То же самое верно в случае бесконечных групп, таких как группа вращений SO(3) группы Лоренца. Таблицу умножения труднее изобразить визуально в случае группы несчётного размера (размера множества вещественных чисел). Один из путей сделать это — вполне упорядочить элементы группы с ординальным числом являющимся порядковым типом. «Бесконечная таблица Кэли» тогда индексируется двумя ординалами , записанными в .

Обычного матричного преобразования Лоренца недостаточно

Преобразуемые объекты могут отличаться от обычных физических объектов, распростёртых в трёх пространственных измерениях (и времени, если система отсчёта не покоится). Для этих объектов нужна теория представлений для математического описания преобразований, индуцированных обычными преобразованиями Лоренца пространства-времени. Например, электромагнитное поле часто (наивно) представляется путём назначения каждой точке пространства-времени трёхмерного вектора, представляющего электрическое поле, и другого трёхмерного вектора, представляющего магнитное поле.

Когда пространство вращается, происходят классически ожидаемые вещи. Вектора электрического и магнитного полей в обозначенной точке вращаются с сохранением длины и угла между векторами.

При лоренцевских бустах они ведут себя по-другому, показывая, что эти два вектора не являются отдельными физическими объектами. Электрические и магнитные компоненты смешиваются. См. рисунок справа. Тензор электромагнитного поля показывает явно ковариантную математическую структуру электромагнитного поля. Она имеет шесть независимых компонент в событииВ открытом множестве пространства-времени имеется только две степени свободы. Введение 4-потенциала даёт, номинально, четыре степени свободы. Уравнения поля и калибровочная инвариантность, каждое удаляет, по одной степени свободы..

Конечномерное представление матрицами

Задачей представления группы Лоренца является, в конечномерном случае, поиск нового набора матриц, не обязательно размера , которые бы удовлетворяли той же таблице умножения, что и матрицы в оригинальной группе Лоренца. Возвращаясь к примеру электромагнитного поля, определяем, что нужны матрицы, которые можно применить к шестимерным векторам, содержащим все шесть компонент электромагнитного поля. Таким образом, ищутся матрицы , такие, что

или в краткой форме

корректно выражают преобразование электромагнитного поля при преобразовании Лоренца Это преобразование обычно выражается другим способом, см., например, «Преобразование электромагнитного поля». Этот метод можно преобразовать для использования матриц , и наоборот, поскольку тензор имеет независимых компонент. Те же рассуждения можно применить к биспинорам Дирака. Поскольку они имеют -компоненты, исходные -матрицы в группе Лоренца непригодны, даже если ограничиться вращениями. Необходимо другое -представление.

Раздел, посвящённый конечномерным представлениям, предназначен для показа всех таких представлений с помощью конечномерных матриц, подчиняющихся правилам в таблице умножения.

Бесконечномерные представления действиями на векторных пространствах функций

Бесконечномерные представления обычно реализуются как действующие на множестве вещественных или комплексных функций на множестве , согласующиеся с действием группы. «Множество согласуется с a действием группы» означает, по сути, что если и , то с . Если означает множество всех комплексных функций от , которое является векторным пространством, представление группы может быть определено согласно Росману как

Следует подчеркнуть, что снова