Аксиома́тика Та́рского — система аксиом элементарной евклидовой геометрии, предложенная Альфредом Тарским. Замечательна тем, что формулируется в логике первого порядка с равенством и не требует теории множеств.
История Альфред Тарский работал над своей аксиоматизацией с перерывами с 1926 до его смерти в 1983 году; первая публикация вышла в 1959 году.. В частности, Тарский доказал, что его аксиоматика полна и непротиворечива; более того, существует алгоритм, позволяющий выяснить, верно или неверно любое утверждение. (Эта теорема не противоречит теореме Гёделя о неполноте, поскольку в аксиоматике Тарского для геометрии нет средств выразить арифметику.)
Основные труды Тарского и его учеников в этом направлении изложены в монографии 1983 года. Аксиоматика, представленная в этой книге, состоит из 10 аксиом и одной схемы аксиом.
Аксиомы Неопределяемые понятия
Лежать между — тернарное отношение , означающее, что «лежит между» и . Другими словами, что является точкой на отрезке . (При этом концы включаются, то есть, как будет следовать из аксиом, — истинно).
Конгруэнтность — тетрадное отношение , означающее, что отрезок конгруэнтен отрезку ; другими словами, что длина равна длине .
Аксиомы
Рефлексивность конгруэнтности:
Тождественность конгруэнтности:
Транзитивность конгруэнтности:
Тождественность отношения «лежать между»:
То есть единственная точка на отрезке линии — это сама точка .
Аксиома Паша:
Две диагонали выпуклого четырехугольника должны пересекаться в некоторой точке.
Схема аксиом непрерывности. Пусть и суть формулы первого порядка без свободных переменных или . Пусть также нет свободных переменных в или в . Тогда все выражения следующего типа являются аксиомами:
То есть, если и описывают два множества точек луча с вершиной , первое из которых левее второго, то найдётся точка между этими множествами.
Нижняя оценка размерности:
То есть существуют три неколлинеарные точки. Без этой аксиомы теории могут быть смоделированы с помощью одномерной вещественной прямой, одной точки или даже пустого множества.
Верхняя оценка размерности:
То есть любые три точки, равноудаленные от двух различных точек, лежат на прямой. Без этой аксиомы теория может быть смоделирована в многомерном (в том числе трёхмерном) пространстве.
Аксиома о пятом отрезке:
То есть, если отрезки четырёх отмеченных пар на двух чертежах справа равны, то и отрезки в пятой паре равны между собой.
Построение отрезка:
То есть от любой точки в любом направлении можно отложить отрезок данной длины.
Примечания
Ссылки Беклемишев Л. Д. Элементарная геометрия с точки зрения логики. Лекции Летней школы «Современная математика», 20—23 июля 2014.
Категория:Основания геометрии