Теорема Гёделя о компактности утверждает, что набор из предложений в логике первого порядка имеет модель, тогда и только тогда, когда каждое конечное подмножество предложений имеет модель.

Эта теорема является важным инструментом в теории моделей, так как она обеспечивает удобный метод для построения моделей для бесконечного набора предложений.

Теорема является следствием теоремы Тихонова о том, что произведение компактных пространств компактно. Кроме того, она является аналогом характеризации компактных пространств через свойство конечных пересечений.

История Курт Гедель доказал теорему компактности для счётного числа предложений в 1930 году; несчётный случай доказан Анатолием Ивановичем Мальцевым в 1936 году.

Следствия

Если предложение выполнено в каждом поле характеристики нуль, то оно верно во всех полях достаточно большой характеристики. Действительно, пусть выполнено в каждом поле характеристики нуль. Тогда его отрицание , вместе с аксиомами поля и бесконечной последовательности предложений

приводят к противоречию (поскольку нет полей характеристики 0, в которых не имеет места, бесконечная последовательность предложений гарантирует, что любая модель будет полем характеристики 0). Следовательно, существует конечное подмножество из этих предложений, приводящее к противоречию. Пусть содержит все предложения за исключением . Тогда любое поле с достаточно большой характеристикой есть модель , и вместе с не выполнима. Это означает, что выполняется в каждой модели . В частности, выполнено в каждом поле достаточно большой характеристики.

Если теория имеет произвольно большие конечные модели, или одну бесконечную модель, то она имеет модели сколь угодно большой мощности. (Это частный случай теоремы Лёвенгейма — Скулема). Так, например, существуют нестандартные модели арифметики Пеано с несчётным числом натуральных чисел. Доказательство. Пусть М есть модель исходной теории. Добавим к языку один символ для каждого элемента множества T большой мощности. Затем добавим набор предложений, которые говорят, что все эти символы различны. Поскольку для каждого конечного подмножества этой новой теории есть модель, то есть модель и для самой теории.

Построение нестандартной модели вещественных чисел, то есть, расширения теории вещественных чисел, содержащего «бесконечно малые». Пусть Σ есть аксиоматизация теории вещественных чисел первого порядка. Рассмотрим теорию, полученную путем добавления новой константы ε к языку и предложениями ε > 0 и ε < 1/n для всех натуральных чисел n. Очевидно, что стандартные вещественные числа являются моделью для любого конечного подмножества из этих аксиом. По теореме компактности существует модель удовлетворяющая всем предложениям. То есть модель с бесконечно малым числом ε.

О доказательствах Теорема следует из теоремы Гёделя о полноте. Гедель доказал теорему компактности изначально именно так. Позже были найдены «чисто семантические» доказательства. Одно из этих доказательств опирается на ультрапределы.

Ссылки

Категория:Математическая логика Категория:Основания математики Гёделя