Теория Сера (Серфа) — направление в дифференциальной топологии, в котором изучаются семейства гладких вещественнозначных функций на гладком многообразии , их типичные особенности и топология подпространств, которую эти особенности определяют, как подпространств пространства функций. Названа именем , получившего основные результаты в этом направлении в конце 1960-х годов.

Предпосылкой является основной результат теории Морса: если компактно, любая гладкая функция может быть приближена функцией Морса и для многих целей можно заменить произвольные функции на функциями Морса. Дальнейшее обобщение зависит от ответа на вопрос: если есть 1-параметрическое семейство функций, которое начинается и кончается функциями Морса, можно ли быть уверенным, что всё семейство состоит из функций Морса? В общем случае ответ отрицательный, например, в семействе функция не имеет критических точек, а является функцией Морса с двумя критическими точками . Сер установил, что 1-параметрическое семейство функций между двумя функциями Морса может быть приближено семейством функций Морса во всех точках времени, кроме конечного числа. Вырождение проявляется в появлении или исчезновении критических точек.

Робион Кёрби использовал теорию Сера в качестве ключевого шага в обосновании исчисления Кёрби.

Расслоение бесконечномерного пространства В общем случае, когда является компактным многообразием, пространство функций Морса является открытым и плотным в пространстве гладких функций в топологии .

Функции Морса можно рассмотреть как открытый слой максимальной размерности в (не утверждая о существовании такого расслоения, лишь предполагая его существование); в расслоённых пространствах открытый слой коразмерности 0 является открытым и плотным. По предположению, открытый слой с коразмерностью 0 пространства является , то есть . В расслоённом пространстве часто несвязно. Существенной характеристикой слоя с коразмерностью 1 является то, что любой путь в , который начинается и кончается в , может быть приближён путём, который пересекает перпендикулярно в конечном числе точек и не пересекает для любого .

Тогда теория Сера — это теория, изучающая слои с положительной коразмерностью, то есть для . Например, в случае только для функция не является функцией Морса и имеет кубическую вырожденную критическую точку, соответствующую появлению/исчезновению особенности.

Единственный параметр Теорема Морса утверждает, что если является функцией Морса, то рядом с критической точкой она сопряжена с функцией вида:

,

где .

Теорема Сера для 1-параметрического семейства устанавливает существенное свойство слоя коразмерности один: если является 1-параметрическим семейством гладких функций на с и являются функциями Морса, то существует гладкое 1-параметрическое семейство , такое, что , равномерно близка к в -топологии на функциях . Более того, являются функциями Морса во всех точках, кроме конечного числа. В точках, в которых функция не является функцией Морса, функция имеет только одну вырожденную критическую точку и рядом с этой точкой семейство сопряжено с семейством: ,

где . Если , это будет 1-параметрическое семейство функций, в котором создаются две критические точки (при возрастании ), а для это будет 1-параметрическое семейство, в котором две критические точки исчезают.

Предпосылки задачу Шёнфлиса для решил Александер в 1924 году; доказательство было перенесено для гладкого случая Морс и . Сер использовал существенное свойство для доказательства, что любой сохраняющий ориентацию диффеоморфизм изотопен тождественному, что рассматривается как 1-параметрическое расширение теоремы Шёнфлиса для . Следствие в то время имело широкое применение в дифференциальной топологии. Позднее существенное свойство Сер использовал для доказательства для многомерных односвязных многообразий. Доказательство является 1-параметрическим расширением доказательства Смейла теоремы о h-кобордизме (Морс, а также Милнор и Сер — Грамэн — Морен переписали по предложению Тома доказательство Смейла в терминах функциональной концепции).

Доказательство Сера построено на работе Тома и Мазера.

Обобщение Расслоение дополнения подпространства бесконечной коразмерности пространства гладких отображений изучил Сержерар в конце 1960-х — начале 1970-х годов.

В 1970-е годы задачу классификации для псевдоизотопий многообразий, не являющихся односвязными, решили Хатчер и Вагонер, открыв алгебраические -разрушения на () и (), и Киёси Игуса, который открыл разрушения аналогичной природы на ().

Примечания

Литература

Категория:Теория особенностей Категория:Дифференциальная геометрия и топология