Теорема Грушко о разложении даёт единственное разложение конечно порождённой группы в свободное произведение групп.
Доказана Игорем Александровичем Грушко в 1940 году и независимо в 1943 году.
Эта теорема является теоретико-групповым аналогом теоремы Кнесера о разложении для 3-мерных многообразий, которая утверждает, что любое замкнутое 3-мерное многообразие представляется как связная сумма неприводимых 3-мерных многообразий.
Формулировка
Любая нетривиальная конечно порожденная группа может быть разложена как свободное произведение , где каждая из группа нетривиальна и не свободная (в частности не бесконечная циклическая группа), и — свободная группа ранга . Более того, это разложение единственно с точностью до перестановки.
Замечания Существование разложения следует из теоремы Глушко о том, что ранг свободного произведения конечнопорождённых групп равен сумме рангов; то есть
для любой пары конечнопорождённых групп и . Единственность требует дополнительного рассуждения.
Литература
B. H. Neumann. On the number of generators of a free product. Journal of the London Mathematical Society, vol 18, (1943), pp. 12—20.
Категория:Геометрическая теория групп Категория:Маломерная топология Категория:Теоремы теории групп