Ядерный оператор — класс компактных операторов в банаховом пространстве
Ядерный оператор в Банаховом пространстве Пусть - банаховы пространства. Непрерывный линейный оператор называется ядерным, если найдется такое абсолютно суммируемое семейство линейных непрерывных операторов из в с одномерным образом, что . Множество всех ядерных операторов из в будем обозначать через .
Простейшие свойства Множество образует подпространство в пространстве всех непрерывных линейных операторов из в . Точная нижняя грань сумм по всевозможным представлениям оператора в виде , где операторы имеют ранг , является нормой на пространстве ядерных операторов. Пространство банахово. Если сепарабельны, то тоже сепарабельно.
Все конечномерные операторы ядерны, и их множество плотно в . В свою очередь, ядерные операторы компактны.
Ядерные операторы образуют операторный идеал. В частности, если и - непрерывные операторы в банаховых пространствах и хотя бы один из них ядерный, то их композиция также ядерна. Сопряженный оператор к ядерному также ядерный.
Ядерный оператор в Гильбертовом пространстве Пусть - компактный оператор между гильбертовыми пространствами.. Для можно найти сингулярное разложение, т.е. ортонормированные системы , и последовательность неотрицательных чисел так, что . является ядерным тогда и только тогда, когда для его -чисел выполнено неравенство: В Гильбертовом пространстве ядерная норма приобретает вид: .
След ядерного оператора
Если - гильбертово пространство, то для можно ввести понятие, естественно обобщающее понятие матричного следа оператора в конечномерном пространстве:
, где - ортонормированный базис в . От выбора базиса число не зависит.
Свойства следа
- линейный непрерывный функционал в банаховом пространстве , его норма равна . , равенство достигается при . , если - линейные непрерывные операторы и . Всякий линейный непрерывный функционал в представим единственным образом в виде: , где - линейные непрерывные операторы.
Примеры Предположим и являются операторами Гильберта — Шмидта между Гильбертовыми пространствами. Тогда оператор ядерный оператор. Оператор обратный к оператору Штурма-Лиувилля на отрезке - ядерный.
Литература
См. также Компактный оператор Оператор Гильберта — Шмидта
Категория:Функциональный анализ