Нера́венство Ка́рлемана — математическое неравенство, названное в честь шведского математика Торстена Карлемана, который в 1923 году опубликовал и доказал данное неравенствоT. Carleman. Sur les fonctions quasi-analytiques, Conférences faites au cinquième congres des mathématiciens Scandinaves, Helsinki (1923), 181-196.. Неравенство Карлемана можно рассматривать как вариацию классического неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим. Карлеман использовал это неравенство, чтобы доказать теорему Данжуа — Карлемана о квазианалитических функциях.
Формулировка
Пусть — последовательность неотрицательных вещественных чисел. Тогда имеет место неравенство:
Коэффициент е (число Эйлера) в неравенстве является оптимальным, то есть неравенство не всегда выполняется, если е заменить на меньшее число. Неравенство становится строгим (со знаком «меньше», а не «меньше или равно»), если хотя бы одно не равно нулю.
Интегральная версия У неравенства Карлемана существует интегральная версия, пригодная для любой неотрицательной функции :
Неравенство Карлесона В 1954 году Леннарт Карлесон предложил обобщение интегрального неравенства Карлемана:
Пусть — выпуклая функция, причём Тогда для любого числа имеет место неравенство:
Неравенство Карлемана получается из неравенства Карлесона при
Доказательство Элементарное доказательство в общих чертах описано ниже. Применим классическое неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим к последовательности :
где означает среднее геометрическое, а — среднее арифметическое. Далее выпишем неравенство, полученное из формулы Стирлинга:
или, заменив на : для любого
Отсюда:
или:
что завершает доказательство.
Можно также вывести неравенство Карлемана из неравенства Харди:
для неотрицательных чисел и ; для этого надо заменить на и устремить к бесконечности.
Примечания
Литература
CS1 maint: Extra text: authors list (link)
Ссылки
Категория:Неравенства Категория:Числовые неравенства