Дискриминант алгебраического числового поля — это числовой инвариант, который, грубо говоря, измеряет размер кольца целых чисел алгебраического числового поля. Более строго, он пропорционален квадрату объёма фундаментальной области кольца целых чисел и определяет, какие простые числа .
Дискриминант является важнейшим инвариантом числового поля и появляется в фундаментальных аналитических формулах, таких как дзета-функции Дедекинда поля K и поля K. Классическая теорема Эрмита утверждает, что имеется лишь конечное число числовых полей с ограниченным дискриминантом, однако определение точного числа таких полей остаётся открытой проблемой и является предметом исследований.
Дискриминант поля K может называться абсолютным дискриминантом поля K, чтобы отличать его от относительного дискриминанта расширения K/L числовых полей. Относительный дискриминант является идеалом в кольце целых чисел поля L и, подобно абсолютному дискриминанту, показывает, какие простые числа разветвляются в K/L. Он является обобщением абсолютного дискриминанта, позволяющим полю L быть больше . В частности, когда , относительный дискриминант является главным идеалом кольца , порождённым абсолютным дискриминантом поля K.
Определение Пусть K будет алгебраическим числовым полем и пусть OK будет его кольцом целых чисел. Пусть будет целочисленным базисом кольца OK (т.е. базис как Z-модуль), и пусть — множество вложений поля K в комплексные числа (т.е. инъективные гомоморфизмы колец ). Дискриминант поля K равен квадрату определителя n х n матрицы B, (i,j)-элементы которой равны . В символической форме,
Эквивалентно, можно использовать след из K в . В частности, определим форму следа как матрицу, (i,j)-элементы которой равны . Эта матрица равна BTB, так что дискриминант поля K является определителем этой матрицы.
Примеры Квадратичные числовые поля: пусть d является свободным от квадратов числом, тогда дискриминант поля равен
Целое число, которое появляется как дискриминант квадратичного числового поля, называется фундаментальным дискриминантом. Круговые поля: пусть n > 2 является целым числом, — примитивным n-ым корнем из единицы, а — n-ым круговым полем. Дискриминант поля задаётся формулой
где — функция Эйлера, а произведение в знаменателе пробегает по всем простым p, делящим n. Степенные базисы: В случае, когда кольцо целых чисел имеет , то есть может быть записано как , дискриминант поля K равен дискриминанту минимального многочлена от . Чтобы это увидеть, можно выбрать целочисленный базис кольца равным . Тогда матрица в определении является матрицей Вандермонда, ассоциированной с , квадрат определителя которого равен
что в точности совпадает с определением дискриминанта минимального многочлена. Пусть будет числовым полем, полученным присоединением корня многочлена . Данный пример является оригинальным примером Дедекинда числового поля, кольцо целых чисел которого не обладает степенным базисом. Целочисленный базис задаётся как , а дискриминант поля K равен −503. Дублирующиеся дискриминанты: дискриминант квадратичного поля единственным образом определяет его, но в общем случае для числовых полей более высокой степени это неверно. Например, имеется два неизоморфных с дискриминантом 3969. Они получаются присоединением корня многочлена или соответственно.
Основные результаты Теорема Брилля: Знак дискриминанта равен , где r2 — число комплексных точек поля K. Простое число p разветвляется в K тогда и только тогда, когда p делит . Теорема Штикельбергера: или : Пусть n обозначает расширения , а r2 обозначает число комплексных мест поля K, тогда
Теорема Минковского: Если K не равно , тогда (это следует прямо из границы Минковского). : Пусть N — положительное целое. Существует лишь конечное число (с точностью до изоморфизма) алгебраических числовых полей K с . Снова, это следует из границы Минковского вместе с теоремой Эрмита (что существует лишь конечное число алгебраических полей с предписанным дискриминантом).
История
Определение дискриминанта общего алгебраического числового поля K было дано Дедекиндом в 1871. В это время он уже знал о связи между дискриминантом и разветвлением.
Теорема Эрмита предшествовала общему определению дискриминанта и доказательство её Шарль Эрмит опубликовал в 1857. В 1877 Александр фон Брилль определил знак детерминанта. Леопольд Кронекер сформулировал теорему Минковского в 1882, хотя доказательство её Герман Минковский дал лишь в 1891. В том же году Минковский опубликовал свою границу детерминанта. К концу девятнадцатого века получил теорему об остатке дискриминанта по модулю четыреВсе факты этого параграфа можно найти в книге Наркиевича .
Относительный дискриминант О дискриминанте, определённом выше, иногда говорят как об абсолютном дискриминанте поля K, чтобы отличить его от относительного дискриминанта расширения числовых полей K/L, который является идеалом в OL. Относительный дискриминант определяется так же, как и абсолютный дискриминант, но следует принимать во внимание, что идеал в OL может не быть главным и что OL может не быть базисом OK. Пусть будет множеством вложений K в , которые являются единицами на L. Если является каким-либо базисом поля K над L, пусть ) будет квадратом детерминанта n х n матрицы, (i,j)-элементы которой равны . Тогда относительный дискриминант расширения K/L является идеалом, порождённым , где пробегает по всем целочисленным базисам расширения K/L. (т.е. по базисам со свойством, что для всех i.) Альтернативно, относительный дискриминант расширения K/L равен K/L. Когда , относительный дискриминант является главным идеалом кольца , порождаемым абсолютным дискриминантом . В башне полей K/L/F относительные дискриминанты связаны выражением
,
где обозначает относительную норму.
Разветвление Относительный дискриминант определяет расширения поля K/L. Главный идеал p поля L разветвляется в K тогда и только тогда, когда он делит относительный дискриминант . Расширение разветвляется тогда и только тогда, когда дискриминант является единичным идеалом. Граница Минковского выше показывает, что не имеется нетривиальных неразветвлённых расширений поля . Поля, которые больше , могут иметь неразветвлённые расширения. Например, для любого поля с числом классов, бо́льшим единицы его , является нетривиальным неразветвлённым расширением.
Корневой дискриминант Корневой дискриминант числового поля K степени n, часто обозначаемый rdK, определяется как n-ый корень абсолютного значения (абсолютного) дискриминанта поля K. Соотношения между относительными дискриминантами в башне полей показывает, что корневой дискриминант не меняется в неразветвлённом расширении. Существование башни полей классов даёт границы для корневого дискриминанта — существование бесконечной башни полей классов над , где m = 3·5·7·11·19, показывает, что имеется бесконечно иного полей с корневым дискриминантом 2 ≈ 296,276. Если r и 2s равны числу вещественных и комплексных вложений, так что , положим и . Обозначим через инфимум rdK для полей K с . Мы имеем (для достаточно больших)
,
а в предположении верности обобщённой гипотезы Римана
Таким образом, мы имеем . Мартине показал, что и . Войт доказал, что для чисто вещественных полей корневой дискриминант > 14 с 1229 исключениями.
Связь с другими величинами При вложении в объём фундаментальной области кольца OK равен (иногда используется другая мера и объём получается равным , где r2 — число комплексных мест поля K). Поскольку дискриминант появляется в этой формуле для объёма, он также появляется в функциональном уравнении дзета-функция Дедекинда поля K, а потому также в аналитической формуле числа классов и в . Относительный дискриминант расширения K/L равен группы Галуа расширения K/L. Это даёт связь между кондукторами Артина и группы Галуа расширения K/L, которая называется .
Примечания
Литература
Литература для дальнейшего чтения
Категория:Алгебраическая теория чисел