Задача о стопке кирпичей — задача статики, заключающаяся в укладке прямоугольных блоков в башню, как можно дальше выдающуюся в сторону.

Формулировка Проблема формулируется так:

Поставить друг на друга одинаковых твёрдых прямоугольных параллелепипедов, собрав устойчивую башню на краю стола таким образом, чтобы выступ за край был максимален.

История

Задача о стопке кирпичей имеет долгую историю как в механике, так и в математике. В своих статьях и его соавторы приводят длинный список ссылок на эту задачу, о которой говорится в работах по механике, относящихся к середине девятнадцатого века.

Решения

С только одним блоком на каждом уровне В идеальном случае с только одним идеально прямоугольным блоком на каждом уровне свес равен ширины блокаЗдесь — номер блока; нумерация ведётся, начиная с верхнего.. Эта сумма составляет половину частичной суммы гармонического ряда. Поскольку гармонический ряд расходится, максимальный свес стремится к бесконечности с ростом , т.е. можно достичь любого сколь угодно большого свеса при достаточном количестве блоков. В каждом конкретном случае максимальный свес приблизительно равен , т.е. пропорционален натуральному логарифму числа блоков. N Максимальный свесдробь десятичнаязапись относительныйразмер1 1 /2 2 3 /4 3 11 /12 ~4 25 /24 ~5 137 /120 ~6 49 /40 7 363 /280 ~8 761 /560 ~9 7 129 /5 040 ~10 7 381 /5 040 ~

N Максимальный свесдробь десятичнаязапись относительныйразмер11 83 711 /55 440 ~12 86 021 /55 440 ~13 1 145 993 /720 720 ~14 1 171 733 /720 720 ~15 1 195 757 /720 720 ~16 2 436 559 /1 441 440 ~17 42 142 223 /24 504 480 ~18 14 274 301 /8 168 160 ~19 275 295 799 /155 195 040 ~20 55 835 135 /31 039 008 ~ N Максимальный свесдробь десятичнаязапись относительныйразмер21 18 858 053 /10 346 336 ~22 19 093 197 /10 346 336 ~23 444 316 699 /237 965 728 ~24 1 347 822 955 /713 897 184 ~25 34 052 522 467 /17 847 429 600 ~26 34 395 742 267 /17 847 429 600 ~27 312 536 252 003 /160 626 866 400 ~28 315 404 588 903 /160 626 866 400 ~29 9 227 046 511 387 /4 658 179 125 600 ~30 9 304 682 830 147 /4 658 179 125 600 ~

С несколькими блоками на любом из уровней

Дополнительные блоки на уровне могут использоваться как противовес и давать бо́льшие свесы, чем вариант с одним блоком на уровне. Даже для трех блоков укладка двух уравновешенных блоков поверх другого блока может дать свес в один блок, в то время как в простом идеальном случае — не более . В 2007 году Майк Патерсон с соавторами показали, что максимальный свес, который может быть достигнут с помощью нескольких блоков на уровне, асимптотически равен , то есть пропорционален кубическому корню из числа блоков, в отличие от простого случая, когда свес пропорционален логарифму количества блоков.

См. также Черви Патерсона

Примечания

Ссылки

Категория:Статика