Оптико-механическая аналогия — аналогия между описаниями движения материальных частиц в стационарном потенциальном поле в классической механике и распространения движения световых лучей в изотропной оптически неоднородной среде. Была установлена Гамильтоном в 1834 г. В 1926 г. была использована при создании квантовой механики де Бройлем и Шредингером для описания наличия у материальных объектов одновременно корпускулярных и волновых свойств.

Формулировка Рассмотрим свободную частицу, движущуюся в стационарном потенциальном поле . Её функцию действия можно представить в виде , где "укороченное" действие удовлетворяет уравнению Гамильтона-Якоби .

Это уравнение совпадает по форме с известным в геометрической оптике уравнением эйконала: , где - так называемый эйконал, - показатель преломления оптически неоднородной среды, в которой распространяется электромагнитная волна.

Траектория классической частицы совпадает с кривой, описываемой при перемещении поверхности равного действия, одной из её точек. Аналогично этому, световой луч представляет собой кривую, которую описывает при своем перемещении в пространстве какая-нибудь точка поверхности постоянной фазы электромагнитной волны.

Рассмотрим геометрическое место точек пространства, в которых действие классической частицы имеет некоторое постоянное значение . Дифференцируя это равенство по времени, получаем: откуда, учитывая что и , следует .

Аналогично этому, в оптике поверхности равной фазы описываются уравнением . Дифференцируя его по времени, получаем скорость распространения фронта электромагнитной волны: .

Сопоставляя формулы, описывающие распространение классических частиц и распространение световых лучей, нетрудно установить аналогию между ними:

Величина Классическая механика Оптика Действие "Укороченное" действие Энергия Импульс

Для того, чтобы соответствие между величинами классической механики и оптики было полным, необходимо величины оптики умножить на коэффициент с размерностью действия. В квантовой механике постулируется, что такой величиной является постоянная Планка.

См. также Постоянная Планка

Примечания

Литература

Категория:Классическая механика Категория:Оптика