Инъективная оболочка — конструкция в метрической геометрии, дающая наименьшее инъективное метрическое пространство, включающее данное метрическое пространство. Эта конструкция во многом аналогична конструкции выпуклой оболочки для множеств в евклидовом пространстве.
Инъективная оболочка была впервые описана Джоном Исбелом в 1964 году. Позже была переоткрыта несколько раз..
Построение На данном метрическом пространстве рассматриваются все функции такие, что для любых , для любого существует такое, что произвольно мало. Далее множество этих функций снабжается метрикой
Полученное метрическое пространство называется инъективной оболочкой .
Замечания Пространство можно рассматривать как подпространство ; необходимое отображение получается сопоставлением каждой точке её дистанционной функции .
Свойства
Инъективная оболочка является инъективным пространством.
Инъективная оболочка компактного пространства компактна. В частности, любое компактное пространство является подпространством компактного пространства с внутренней метрикой.
Пусть и — инъективные оболочки компактных метрических пространств и . Тогда
где обозначает метрику Громова — Хаусдорфа. Константа 2 в этом неравенстве является оптимальной.
Инъективная оболочка банахова пространства является банаховым пространством.
Примечания
Категория:Метрическая геометрия