Качественная, дискретная или категориальная переменная — переменная, которая может принимать одно из ограниченного и обычно фиксированного числа возможных значений, назначая каждую единицу наблюдения определённой группе или номинальной категории на основе некоторого . В информатике и некоторых разделах математики качественные переменные называются или .

Связанные понятия Качественные данные — это , состоящий из качественных переменных, или данные, которые преобразованы в такой вид, например, . Качественные переменные могут быть получены из наблюдений , которые суммируются в виде счётчиков или перекрёстных таблиц, или из наблюдений , сгруппированных по интервалам. Зачастую чисто качественные данные формулируются в форме таблицы сопряжённости. Вместе с тем, термин «качественные данные» применяется к множествам данных, которые, имея некоторые качественные переменные, могут также содержать переменные, не являющиеся качественными.

Качественная переменная, которая может принимать в точности два значения, называется или дихотомической переменной. Важным специальным случаем является . Качественные переменные с более чем двумя возможными значениями называются политомными переменными. Качественные переменные часто считаются политомными, если не было указано обратное.

Дискретизация — трактовка непрерывных данных, как если бы они были качественными. Дихотомизация — трактовка непрерывных данных, как если бы они были двоичными переменными. Регрессионный анализ часто трактуется как качественный с одной или более количественной искусственной переменной.

Примеры качественных переменных Примеры значений, которые могут быть представлены качественной переменной: Группа крови человека: A (II)), B(III), AB(IV) или O (I); Регион проживания человека; Политическая партия, за которую можно голосовать, например, в Европе — Христианско-демократическая партия, Социал-демократическая партия, Партия зелёных и т. д.; Тип горных пород: магматические, осадочные или метаморфические; Каждое отдельное слово (например, в ) — одно из V возможных значений для словаря размером V; День недели: 7 значений

Обозначения Для удобства статистической обработки качественным переменным могут быть назначены числовые индексы, к примеру, от 1 до K для K-значной качественной переменной (переменной, которая может принимать ровно K возможных значений). Однако, как правило, числа произвольны и не значимы, служат меткой конкретного значения. Другими словами, значения качественной переменной существуют в номинальной шкале — значения представляют отдельные концепции, не могут быть упорядочены, с ними нельзя работать как с обычными числами. Допустимые операции — эквивалентность, принадлежность множеству, другие операции над множествами.

Как результат, центральная тенденция множества качественных переменных задаётся модой. Ни среднее, ни медиана не могут быть определены. Например, если дано множество людей, мы можем рассматривать набор качественных переменных, соответствующих их фамилиям. Мы можем рассматривать операции, такие как эквивалентность (имеют ли два человека одинаковые фамилии), принадлежность множеству (содержится ли фамилия в заданном списке), подсчёт (как много людей имеют данную фамилию) или нахождение моды (какая фамилия встречается наиболее часто). Однако, мы не можем осмысленно вычислить «сумму» Smith + Johnson или задать вопрос, или «сравнить» Smith и Johnson. В результате, мы не можем задать вопрос, какова «средняя фамилия» (среднее значение) или «ближайшая к центру фамилия» (медиана) в множестве фамилий.

Заметим, что это игнорирует понятие алфавитного порядка, который является свойством, не наследующимся от самих фамилий, а являющимся способом построения меток. Например, если мы запишем фамилии в кириллице и примем порядок букв в кириллице, мы можем получить результат, отличный от результата «Smith» < «Holmes», который мы получим при записи фамилий в стандартном латинском алфавите. А если мы запишем имена китайскими иероглифами, мы не сможем вообще осмысленно записать «Smith» < «Holms», поскольку для них не определено никакого порядка. Однако, если мы рассмотрим имена написанными, например, в латинском алфавите и определим порядок, соответствующий стандартному алфавитному порядку, мы можем превратить их в , определённые на .

Число возможных значений Качественные случайные величины описываются статистически , что позволяет произвольную K-значную качественную переменную выразить с отдельными вероятностями, заданными для каждого из K возможных исходов. Такие качественные переменные с несколькими категориями часто исследуются с помощью мультиномиального распределения, которое подсчитывает частоту выпадения каждой возможной комбинации чисел из различных категорий. Регрессионный анализ на качественных исходах выполняется с помощью , или связанных видов моделей дискретного выбора.

Качественные переменные, которые имеют только два возможных исхода (да/нет, успех/неудача и т.д.) известны как двоичные переменные (или переменные Бернулли). Ввиду их важности эти переменные часто считаются отдельной категорией с отдельным распределением (распределение Бернулли) и отдельными моделями регрессии (логистическая регрессия, пробит-регрессия и т. д.). Как результат, термин «качественная переменная» часто резервируется для случаев 3 и более исходов и называются они многозначными переменными как противоположность двоичной переменной.

Можно также рассматривать качественные переменные, у которых число категорий заранее не фиксировано. В качестве такой качественной переменной может служить описывающая слово переменная — мы не можем знать заранее величину словаря, так что можем сталкиваться со словами, которые ранее не видели. Стандартные статистические модели, вовлекающие и , предполагают, что число категорий известно заранее и изменение числа категорий на лету проблематично. В таких случаях следует применять более продвинутые техники. Примером служит , который попадает в область непараметрической статистики. Логически предполагается, что существует бесконечное число категорий, но в любой момент времени большинство из них (все, кроме конечного числа) никогда не просматриваются. Все формулы формулируются в терминах числа категорий, на самом деле попавшихся, а не терминах (бесконечного) полного числа потенциальных категорий, а методы создаются для обновления постепенно дополняемых распределений вероятностей, включая добавление «новых» категорий.

Качественные переменные и регрессия Качественные переменные представляют метод (в отличие от количественной) оценки данных (представляет категории или членство в группе). Они могут быть включены как независимые переменные в регрессионный анализ или как зависимые переменные в логистической регрессии или пробит-регрессии, но должны быть преобразованы в в порядке возможности анализировать данные. Делается это через использование систем кодирования. Анализ проводится так, что только g −1 (g равно числу групп) значений кодируется. Это минимизирует избыточность, но по-прежнему представляет полное множество данных, поскольку никакой дополнительной информации от кодирования всех g групп мы не получим. Например, когда кодируем пол (g=2: мужской и женский), если кодируем только женщин — остальные будут мужчинами. Как правило, группа, которая не кодируется, представляет минимальный интерес.

Есть три основных системы кодирования, обычно используемых при анализе качественных переменных в регрессии: фиктивное кодирование, кодирование влияния, и контрастное кодирование. Уравнение регрессии принимает вид Y=bX + a, где b является коэффициентом наклона и задаёт вес, эмпирически назначенный объяснению, X — объясняющая переменная, a — пересечение с осью Y. Эти значения различаются в зависимости от принятой системы кодирования. Выбор кодирующей системы не влияет на статистики F или R2. Однако, система кодирования выбирается в зависимости от заинтересованности в категориях, поскольку от неё зависит значение b.

Фиктивное кодирование Фиктивное кодированиеВстречаются также названия бинарное кодирование или индикаторное кодирование. См, например, Множественная регрессия SPSS . Хотя, в учебнике Многомерный статистический анализ данных делается различие между dummy кодированием и индикаторным кодированием. В последнем количество дихотомических переменных-индикаторов совпадает с количеством категорий используется, когда есть контрольная группа или группа сравнения. Поэтому данные анализируются относительно группы сравнения — a представляет среднее контрольной группы, а b является разницей между средним экспериментальной группы и средним контрольной группы. Предполагается, что выполняются три критерия для пригодности контрольной группы — группа должна быть вполне определена (к примеру, не должна быть категорией «другие»), должна существовать логическая причина для выбора этой группы в качестве группы сравнения (к примеру, ожидается, что группа имеет наибольшую оценку от зависимой переменной) и, наконец, размер выборки из группы должен быть существенным и не меньше, чем у других групп.

При фиктивном кодировании справочной группе назначается значение 0 для каждой кодовой переменной. Для каждого респондента в наборе переменных только одна может принимать значение 1, та, что соответствует категории. Значения b следует интерпретировать так, что экспериментальная группа сравнивается с контрольной группой. Поэтому получение отрицательного значения b означает, что экспериментальная группа имеет меньшую оценку, чем контрольная группа на зависимой переменной. Предположим, что мы измеряем оптимизм нескольких национальностей и решаем, что французы станут контрольной группой. Если мы сравним их с итальянцами и получим отрицательное значение b, из этого можно предположить, что итальянцы в среднем менее оптимистичны.

Следующая таблица представляет пример фиктивного кодирования с французами в качестве контрольной группы, а C1, C2 и C3 соответственно будут кодами для итальянцев, немцев и прочих (все, кто не относятся к уже определённым группам):

НациональностьC1C2C3Французы000Итальянцы100Немцы010Прочие001

Кодирование влияния В системе кодирования влияния данные анализируются путём сравнения группы со всеми другими группами. В отличие от фиктивного кодирования здесь нет контрольной группы. Напротив, сравнение осуществляется со средним всех групп (a теперь будет ). Поэтому не ищется связи данных с другими группами, а ищется связь с общим средним.

Кодирование влияния может быть либо взвешенным, либо нет. Взвешенное кодирование влияния просто вычисляет взвешенное общее среднее, таким образом принимая во внимание размер выборки по каждой переменной. Это наиболее уместно в ситуациях, когда выборка является представительной в популяции. Невзвешенное кодирование влияния наиболее уместно в ситуациях, когда разница в размере выборки является результатом случайных факторов. Интерпретация b различна для этих случаев — при невзвешенном кодировании влияние b является разностью между средним экспериментальной группы и общим средним, в то время как в случае взвешенного кодирования оно равно среднему экспериментальной группы минус взвешенное среднее.

При кодировании влияния мы кодируем исследуемую группу так же как при фиктивном кодировании. Принципиальное отличие заключается в том, что мы присваиваем код −1 для группы, которая нас меньше всего интересует. Поскольку мы продолжаем использовать кодирующую схему g — 1, закодированная значением −1 группа не производит никаких данных как следствие того, что мы наименее всего заинтересованы в этой группе.