Нормальные координаты — локальная система координат в окрестности точки риманова многообразия (или, более общно, многообразия с аффинной связностью) полученная из координат на касательном пространстве в данной точке применением экспоненциального отображения.
В базовой точке нормальной системы координат символы Кристоффеля обнуляются; это часто упрощает вычисления.
Построение
Пусть есть гладкое многообразие с аффинной связностью и есть соответствующее экспоненциальное отображение. Тогда нормальные координаты точки считаются равными координатам вектора в касательном пространстве .
Выбор последних координат произволен, в частности для риманова многообразия можно предположить, что координаты прямоугольные.
Замечания
Нормальные координаты определены в пределах радиуса инъективности базовой точки .
Свойства
Символы Кристоффеля обнуляются вбазовой точек нормальных координат.
Лемма Гаусса утверждает, что малые координатные сферы с центром в начале координат являются метрическими сферами и они остаются перпендикулярными геодезическим исходящим из базовой точки.
Компоненты тензора кривизны однозначно определяет многочлен Тейлора степени два метрического тензора, записанного в нормальных координатах. А именно:
Вариации и обобщения
Нормальные координаты естественно обобщаются на финслеровые многообразия. Поскольку экспоненциальное отображение на финслеровых многообразия не является дважды дифференцируемым в нуле,. нормальные координаты финслерова многообразия также не гладки в нуле.
Примечания
Категория:Риманова (и псевдориманова) геометрия