Теоре́ма взаи́мности — название множества связанных друг с другом теорем, описывающих взаимное изменение гармонических по времени плотностей электрического тока (источников) и возникающих электромагнитных полей в уравнениях Максвелла для линейной изотропной и негиротропной среды.

Вероятно, наиболее известной и общей из таких теорем является лемма Лоренца (и её частные случаи, такие как теорема Рэлея — Карсона), доказанная Хендриком Лоренцом в 1896 году после аналогичных результатов Рэлея и Гельмгольца применительно к звуковым волнам и свету соответственно. Проще говоря, лемма устанавливает, что взаимосвязь переменного тока и порождённого им электрического поля остаётся неизменной при смене мест точки, в которой протекает ток и точки, в которой наблюдается поле.

Лемма Лоренца Пусть ток с плотностью порождает электрическое поле и магнитное поле , при этом все три величины являются гармоническими функциями времени с угловой частотой , то есть, их зависимость от времени описывается функцией . Пусть некоторый другой гармонический ток , имеющий ту же угловую частоту порождает электрическое и магнитное поля и . Согласно лемме Лоренца, если среда удовлетворяет некоторым естественным условиям, то для любой поверхности , ограничивающей объём верно следующее:

Это утверждение также можно сформулировать в дифференциальной форме (по теореме Гаусса — Остроградского):

Приведённая обобщённая форма утверждений обычно упрощается для ряда частных случаев. В частности, обычно предполагается, что и локализованы (то есть, у каждой из этих функций компактный носитель), и что амплитуда волн на бесконечном удалении равна нулю. В таком случае интеграл по площади становится равным нулю и лемма принимает вид:

Этот результат иногда называют теоремой Рэлея — Карсона. Зачастую формула упрощается ещё больше, если рассматривать точечные дипольные источники. В таком случае интеграл обращается в нуль и остаётся просто произведение электрического поля на соответствующий дипольный момент токов. Для пренебрежимо тонких проводов, в свою очередь, получается произведение тока в одном проводе, умноженное на напряжение в другом, и наоборот.

В другом частном случае, когда объём целиком содержит оба локализованных источника (или если не содержит ни один из источников), лемма принимает вид:

См. также Метод эквивалентного генератора Правила Кирхгофа Теорема Тевенина Теорема Нортона

Литература Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Электродинамика сплошных сред. — М. : Гостехиздат, 1957. — 532 с. — (Теоретическая физика). Ronold W. P. King. Fundamental Electromagnetic Theory (Dover: New York, 1963). §IV.21. C. Altman and K. Such. Reciprocity, Spatial Mapping and Time Reversal in Electromagnetics (Kluwer: Dordrecht, 1991). H. A. Lorentz. "The theorem of Poynting concerning the energy in the electromagnetic field and two general propositions concerning the propagation of light, " Amsterdammer Akademie der Wetenschappen 4 p. 176 (1896). R. J. Potton. «Reciprocity in optics», Reports on Progress in Physics 67, 717—754 (2004). (A review article on the history of this topic.) J. R. Carson. «A generalization of reciprocal theorem» Bell System Technical Journal 3 (3), 393—399 (1924). Also J. R. Carson, "The reciprocal energy theorem, " ibid. 9 (4), 325—331 (1930). Ya. N. Feld. «On the quadratic lemma in electrodynamics» Sov. Phys—Dokl. 37, 235—236 (1992). C.-T. Tai. «Complementary reciprocity theorems in electromagnetic theory» IEEE Trans. Antennas Prop. 40 (6), 675—681 (1992). Wolfgang K. H. Panofsky and Melba Phillips. Classical Electricity and Magnetism. (Addison-Wesley: Reading, MA, 1962).

Примечания

Категория:Электротехника взаимности