Теорема Линника о разложении свёртки нормального распределения и распределения Пуассона

Теорема Линника о разложении свёртки нормального распределения и распределения Пуассона является обобщением теоремы Крамера о разложении нормального распределения и теоремы Райкова о разложении распределения Пуассона. Теорема является одной из наиболее важных теорем в арифметике вероятностных распределений и была доказана Ю. В. Линником в 1957 годуЛинник, Ю. В. (1957). О разложении композиции законов Гаусса и Пуассона. Теория вероятностей и её применения. 2 (1): 31–57.. Доказательство теоремы Линника требует значительно более сильных аналитических методов, чем доказательства теорем Крамера и Райкова. Первоначальное доказательство теоремы было очень сложным. Оно было существенно упрощено И. В. ОстровскимОстровский, И. В. (1965). О разложении композиции закона Гаусса и Пуассона. Успехи математических наук. 20 (4): 166–171.. Он также доказал многомерный аналог этой теоремыОстровский, И. В. (1971). Многомерный аналог теоремы Ю. В. Линника о разложении композиции законов Гаусса и Пуассона. Теория вероятностей и её применения. 16 (4): 742–745..

Формулировка теоремы Пусть распределение случайной величины является свёрткой нормального распределения и распределения Пуассона, и пусть может быть представлена в виде суммы двух независимых случайных величин . Тогда распределения случайных величин и также являются свёртками нормальных распределений и распределений Пуассона.

Теорема Линника означает, что свёртка нормального распределения и распределения Пуассона принадлежит классу Линника , то есть не имеет неразложимых делителей.

Обобщение на локально компактные абелевы группы

Следующее утверждение можно рассматривать как аналог теоремы Линника для локально компактных абелевых групп.

ТеоремаFeldman, G. M.; Fryntov, A. E. (1983). On the decomposition of the convolution of a Gaussian and Poisson distribution on locally compact abelian groups. Journal of Multivariate Analysis. 13 (1): 148–166. https://doi.org/10.1016/0047-259X(83)90010-6, см. также Fel'dman, G. M. (1993). Arithmetic of Probability Distributions and Characterization Problems on Abelian Groups. Translations of Mathematical Monographs. Vol. 116. Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 978-0821845810.. Пусть — локально компактная абелева группа, такая что её связная компонента нуля имеет конечную размерность. Пусть — распределение Гаусса на , а — распределение Пуассона на . Пусть все делители являются распределениями Гаусса, а все делители являются сдвигами распределений Пуассона. Тогда все делители свёртки являются свёртками распределений Гаусса и Пуассона.

Примечания

Литература

Линник Ю. В., Островский И. В. Разложения случайных величин и векторов. — М.: Наука, 1972. — 480 с. Lukacs E. Characteristic functions. — London: Griffin, 1970. — 350 p. Ramachandran B. Advanced theory of characteristic functions. — Calcutta: Statistical Publishing Society, 1967. — vii+208 p.

Категория:Теоремы теории вероятностей и математической статистики