Теорема Райкова — обратное утверждение к следующему наблюдению: если случайные величины и независимы и распределены по закону Пуассона, то их сумма также распределена по закону Пуассона. Доказано Д. А. Райковым в 1937 году .
Формулировка теоремы Пусть случайная величина имеет распределение Пуассона и может быть представлена в виде суммы двух независимых случайных величин . Тогда распределения случайных величин и являются сдвигами распределений Пуассона.
Теорема Райкова аналогична теореме Крамера, в которой утверждается, что если сумма двух независимых случайных величин имеет нормальное распределение, то каждая из этих случайных величин также имеет нормальное распределение. Ю. В. Линник доказал, что свертка нормального распределения и распределения Пуассона также обладает аналогичным свойством (теорема Линника).
Обощение на локально компактные абелевы группы Пусть — локально компактная абелева группа. вероятностных распределений на , а через — вырождённое распределение, сосредоточенное в точке . Пусть , .
Распределением Пуассона, порождённым мерой , называется распределение вида
Справедлив следующий групповой аналог теоремы Райкова.
Теорема. Пусть — распределение Пуассона, порождённое мерой . Для того чтобы из , где , вытекало, что являются сдвигами распределений Пуассона, необходимо и достаточно, чтобы был либо элементом бесконечного порядка, либо порядка 2.
Примечания
Категория:Теоремы теории вероятностей и математической статистики Категория:Теория вероятностей