Фуксова модель — это представление гиперболической римановой поверхности R как факторповерхности верхней полуплоскости H по фуксовой группе. Любая гиперболическая риманова поверхность позволяет такое представление. Концепция названа именем Лазаря Фукса.
Более точное определение
По теореме об униформизации любая риманова поверхность является эллиптической, , либо гиперболической. Точнее, эта теорема утверждает, что риманова поверхность , которая не изоморфна либо римановой сфере (в эллиптическом случае), либо факторповерхности комплексной поверхности по дискретной подгруппе (в параболическом случае), должна быть факторповерхностью гиперболической плоскости по подгруппе , действующей вполне разрывно и свободно.
В модели Пуанкаре в верхней полуплоскости для гиперболической плоскости группа является группой , действующей гомографией, а теорема об униформизации означает, что существует дискретная подгруппа без кручения , такая, что риманова поверхность изоморфна . Такая группа называется фуксовой группой, а изоморфизм называется фуксовой моделью для .
Фуксовы модели и пространство Тейхмюллера Пусть будет замкнутой гиперболической поверхностью и пусть будет фуксовой группой, такой, что является фуксовой моделью для . Пусть . Здесь — множество всех эффективных и дискретных представлений с топологией, порождённой точечной сходимостью (иногда называемой «алгебраической сходимостью»). В этом частном случае топология может быть наиболее просто определена следующим образом: группа является , так как она изоморфна фундаментальной группе . Пусть будет порождающим множеством, тогда любое определяется элементами и мы можем отождествить с подмножеством отображением . Тем самым мы задаём топологию подпространства.
Теорема Нильсена об изоморфизме (это не стандартная терминология и этот результат не связан напрямую с теоремой Дена — Нильсена) тогда утверждает следующее: Для любого представления существует автогомеоморфизм (фактически, ) верхней полуплоскости , такое, что для любого . Доказательство очень просто — выберем гомеоморфизм и поднимем его на гиперболическую плоскость. Взятие диффеоморфизма даёт квазиконформное отображение, поскольку компактно.
Это можно рассматривать как эквивалентность между двумя моделями для пространства Тейхмюллера — множества дискретных эффективных представлений фундаментальной группы Множество гомотопических классов петель с произведением петель из точки пространства называется фундаментальной группой с отмеченной точкой и обозначается . Если — линейно связное пространство, то с точностью до изоморфизма фундаментальная группа не зависит от отмеченной точки и для таких пространств можно писать вместо . См. Фундаментальная группа в классы смежности и множества помеченных римановых поверхностей , где является квазиконформным гомеоморфизмом естественного отношения эквивлентности.
См. также , аналогичное построение для 3D-многообразий
Примечания
Литература
Категория:Геометрия Лобачевского Категория:Римановы поверхности