Неопределённая ортогональная группа  — это группа Ли всех линейных преобразований n-мерного вещественного векторного пространства, которые оставляют инвариантной с сигнатурой , где . Размерность группы равна .

Неопределённая специальная ортогональная группа является подгруппой , состоящей из всех элементов с определителем 1. В отличие от определённого случая, группа не связна: она имеет две компоненты и две дополнительные подгруппы с конечным индексом, а именно связная и , которая имеет две компоненты — см. раздел Топология, в котором дано определение и доказан этот факт.

Сигнатура формы определяет группу с точностью до изоморфизма. Перестановка p и q приводит к смене знака скалярного произведения, что даёт ту же самую группу. Если p или q равно нулю, группа изоморфна обычной ортогональной группе O(n). Далее мы предполагаем, что p и q положительны.

Группа определяется для векторных пространств над вещественными числами. Для комплексных пространств все группы изоморфны обычной ортогональной группе , поскольку преобразование изменяет сигнатуру формы.

В пространстве чётной размерности группа известна как расщепимая ортогональная группа.

Примеры

Основным примером является группа (единичная компонента) линейных преобразований, сохраняющих . Конкретно, это матрицы которые могут интерпретироваться как гиперболические вращения, так же как группа SO(2) может интерпретироваться как круговые вращения.

В физике группа Лоренца играет важную роль, будучи основой теории электромагнетизма и специальной теории относительности.

Матричное определение Можно определить , как группу матриц, так же как для классической ортогональной группы . Рассмотрим диагональную матрицу , заданную выражением:

Теперь мы можем определить на формулой , где является стандартным скалярным произведением на .

Мы определяем тогда , как группу матриц, которые сохраняют эту билинейную форму: .

Более явно состоит из матриц , таких что: , где является транспонированной матрицей для .

Получаем изоморфную группу (более того, сопряжённую подгруппу группы ) путём замены g любой симметричной матрицей с p положительными собственными значениями и q негативными значениями. Диагонализация этой матрицы даёт сопряжение этой группы со стандартной группой .

Топология Если и p, и q положительны, то ни , ни не являются связными, так как имеют четыре и две компоненты соответственно. является четверной группой Клейна, в которой каждый множитель либо сохраняет, либо обращает ориентации на пространствах размерности p и q, на которой форма определена. Заметим, что обращение ориентации только на одном из этих подпространств обращает ориентацию на полном пространстве. Специальная ортогональная группа имеет компоненты , которые либо сохраняют обе ориентации, либо изменяют обе ориентации, в любом случае сохраняя полную ориентацию.

группы часто обозначается как и может быть отождествлена с множеством элементов в , которые сохраняют ориентации. Обозначение связано с обозначением для ортохронной группы Лоренца, где + указывает на сохранение ориентации на первой размерности (соответствующей времени).

Группа также не компактна, но содержит компактные подгруппы и , действующие на подпространствах, на которых форма определена. Фактически, является максимальной компактной подгруппой группы , в то время как является максимальной компактной подгруппой группы . Аналогично, является максимальной компактной подгруппой группы . Тогда с точностью до гомотопии пространства эти подгруппы являются произведением (специальных) ортогональных групп, из которых можно вычислить алгебраическо-топологические инварианты.

В частности, фундаментальная группа группы является произведением фундаментальных групп компонент и задается как: {| border="1" cellpadding="11" style="border-collapse: collapse; border: 1px #aaa solid;" !style="background:#efefef;"| !style="background:#efefef;"| p = 1 !style="background:#efefef;"| p = 2 !style="background:#efefef;"| |- !style="background:#efefef;"| q = 1

!style="background:#efefef;"| q = 2

!style="background:#efefef;"| q ≥ 3

Расщепимые ортогональные группы В пространствах чётной размерности средние группы известны как расщепимые ортогональные группы, которые представляют особый интерес. Это , соответствующая комплексной алгебре Ли so2n (группа Ли алгебры Ли). Точнее, единичная компонента является расщеплением группы Ли, так как неединичные компоненты не могут быть восстановлены из алгебры Ли. В этом смысле это противоположно определению ортогональной группы , которая является комплексной алгебры Ли.

Случай соответствует мультипликативной группе расщепляемых комплексных чисел.

В терминах группы лиева типа, то есть построения алгебраической группы из алгебры Ли, расщепимые ортогональные группы — это группы Шевалле, в то время как нерасщепимые ортогональные группы являются слегка более сложными конструкциями и являются группами Штейнберга.

Расщепимые ортогональные группы используются для построения над неалгебраически замкнутыми полями.

См. также Ортогональная группа Группа Лоренца Группа Пуанкаре

Примечания

Литература

 — см. страницу 372 для описания неопределённой ортогональной группы

Категория:Группы Ли