Бассе́йны Нью́тона, фракталы Ньютона — разновидность алгебраических фракталов.
Области с фрактальными границами появляются при приближенном нахождении корней нелинейного уравнения алгоритмом Ньютона на комплексной плоскости (для функции действительной переменной метод Ньютона часто называют методом касательных, который, в данном случае, обобщается для комплексной плоскости).
Применим метод Ньютона для нахождения нуля функции комплексного переменного, используя процедуру:
Выбор начального приближения представляет особый интерес. Так как функция может иметь несколько нулей, в различных случаях метод может сходиться к различным значениям. Однако, какие именно области обеспечат сходимость к тому или иному корню?
История Этот вопрос заинтересовал Артура Кэли ещё в 1879 году, однако разрешить его смогли лишь в 70-х годах двадцатого столетия с появлением вычислительной техники. Оказалось, что на пересечениях этих областей (их принято называть областями притяжения) образуются так называемые фракталы — бесконечные самоподобные геометрические фигуры.
Ввиду того, что Ньютон применял свой метод исключительно к полиномам, фракталы, образованные в результате такого применения, обрели название фракталов Ньютона или бассейнов Ньютона.
Три корня
Рассмотрим уравнение: ,
Оно имеет три корня. При выборе различных процесс будет сходиться к различным корням (областям притяжения). Артур Кэли поставил задачу описания этих областей, границы которых, как оказалось, имеют фрактальную структуру.
Построение По следующей формуле:
Масштабирование Если переместить центр экрана в точку и произвести масштабирование (), то вместо подстановки в многочлен , можно изменить сам многочлен. Так как , а , то . Так как , то .
Тогда
, считая новый многочлен , получаем
Литература
Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. — М.: «Институт компьютерных исследований», 2002. Пайтген Х.-О., Рихтер П. Х. Красота фракталов. — М.: «Мир», 1993. Федер Е. Фракталы. — М: «Мир», 1991. Фоменко А. Т. Наглядная геометрия и топология. — М.: изд-во МГУ, 1993. Фракталы в физике. Труды 6-го международного симпозиума по фракталам в физике, 1985. — М.: «Мир», 1988. Шредер М. Фракталы, хаос, степенные законы. Миниатюры из бесконечного рая. — Ижевск: «РХД», 2001. Морозов А. Д. Введение в теорию фракталов. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002, 109—111. Кроновер Р. М. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории. Москва: Постмаркет, 2000. 248—251.
Примечания
Ссылки
Красота фракталов Построение бассейнов Ньютона на MATLAB
Категория:Фракталы