Теорема Ферма о многоугольных числах утверждает, что любое натуральное число представимо как сумма не более -угольных чисел.
Примеры Примеры разбиения натуральных чисел от 1 до 30 в соответствии с теоремой Ферма:
Число Сумма не более трёхтреугольных чисел Сумма не более четырёхквадратных чисел Сумма не более пяти пятиугольных чисел 1 1 1 2 1 + 1 1 + 1 1 + 1 3 3 1 + 1 + 1 1 + 1 + 1 4 3 + 1 1 + 1 + 1 + 1 5 3 + 1 + 1 5 6 6 5 + 1 7 6 + 1 5 + 1 + 1 8 6 + 1 + 1 5 + 1 + 1 + 1 9 6 + 3 5 + 1 + 1 + 1 + 1 10 10 5 + 5 11 10 + 1 5 + 5 + 1 12 6 + 6 12 13 10 + 3 12 + 1 14 10 + 3 + 1 12 + 1 + 1 15 15 5 + 5 + 5 16 15 + 1 5 + 5 + 5 + 1 17 10 + 6 + 1 12 + 5 18 15 + 3 12 + 5 + 1 19 10 + 6 + 3 12 + 5 + 1 + 1 20 10 + 10 5 + 5 + 5 + 5 21 21 5 + 5 + 5 + 5 + 1 22 21 + 1 22 23 10 + 10 + 3 22 + 1 24 21 + 3 12 + 12 25 15 + 10 12 + 12 + 1 26 15 + 10 + 1 12 + 12 + 1 + 1 27 21 + 6 22 + 5 28 28 22 + 5 + 1 29 28 + 1 12 + 12 + 5 30 15 + 15 12 + 12 + 5 + 1
История Теорема названа именем Пьера Ферма, который выдвинул это утверждение в 1638 году без доказательства, но обещал представить его в отдельной статье, которая так никогда и не появилась. В 1770 году Лагранж доказал эту теорему для квадратных чисел. Гаусс доказал теорему для треугольных чисел в 1796 году. Молодой Гаусс сопроводил свою находку записью в дневнике: «Эврика!». Dover reprint, 2000, . и опубликовал доказательство в книге Арифметические исследования. Этот результат Гаусса известен как «теорема эврика». Полностью теорему доказал Коши в 1813 году. .Последующие доказательства основаны на доказанных Коши леммах.
Частные случаи Наиболее интересны квадратный и треугольный случаи. Теорема Лагранжа о сумме четырёх квадратов вместе с теоремой Лежандра о трёх квадратах решают проблему Варинга для . А в случае треугольных чисел замена квадрата на квадратный многочлен позволяет уменьшить необходимое число слагаемых.
Примечания
Ссылки
. Содержит доказательство теоремы Лагранжа и теоремы о многоугольных числах.
Категория:Теория чисел