Метрический дифференциал — обобщение понятия производной на (липшицевы) отображения из евклидова пространства в произвольное метрическое пространство. Впервые рассмотрен Берндом Киркхаймом.
Метрический дифференциал отображения в точке является нормой на и обычно обозначается .
Определение Метрический дифференциал отображения в точке определяется как норма на такая, что
где обозначает расстояние между точками и по норме .
Свойства Для метрического дифференциала выполняется аналог теоремы Радемахера — если липшицевское, то метрический дифференциал определён почти в каждой точке области определения. Прямое обобщение теоремы Радемахера невозможно, поскольку метрическое пространство не обладает линейной структурой, требуемой для дифференциала. Даже в случае банахова пространства заключение самой теоремы неверно — например, отображение , определённое как индикатор , не имеет производную ни в одной точке, несмотря на то, что отображение липшицево и даже сохраняет расстояния.
Примечания
Ссылки
А. И. Тюленев Введение в геометрическую теорию меры Лекция 7. Метрический дифференциал. Теорема Киркхайма.
Категория:Метрическая геометрия Категория:Математический анализ