Константа Кемени — среднее число шагов перехода в случайно выбранное состояние конечной цепи Маркова, находящейся в стационарном состоянии, из некоторого исходного состояния . Эта величина не зависит от номера исходного состояния и является инвариантом цепи Маркова.
Найдена в 1960 году Кемени и J. G. Kemeny and J. L. Snell. Finite Markov Chains. Van Nostrand, Princeton, NJ, 1960.
Определение Рассмотрим дискретную, несократимую и непериодическую цепь Маркова на конечном пространстве состояний с матрицей вероятностей переходов и вектором стационарных вероятностей таким, что и . Для определим «время первого перехода» в состояние .
Обозначим математическое ожидание при условии, что . Тогда
не зависит от и называется константой Кемени.
Свойства Константа Кемени не ограничена сверху. при например для цепи Маркова с матрицей вероятностей переходов
Константа Кемени для цепи Маркова, имеющей состояний, ограничена снизу величиной . Стремление к нижней грани имеет место, если в каждой строке матрицы вероятностей переходов один элемент с несовпадающими индексами строки и столбца стремится к 1, например для матрицы
В пределе такая цепь циклично проходит своих состояний в некотором порядке.
Любопытные факты Понятие цепи Маркова было введено российским учёным Марковым в 1906 году. С тех пор исследованию этого важного и популярного математического объекта было посвящено множество работ в том числе и выдающихся математиков. Однако инвариантная сумма средних времён перехода была найдена только в 1960 году в период широкого внедрения компьютеров в университетах США.
В 1997 году Гримстед и Шелл предложили премию за простое и интуитивно понятное объяснение, почему константа Кемени — это константа.C. M. Grinstead and J. L. Snell. Introduction to Probability. AMS, Providence, R.I., 1997. (с. 469) В 2009 году этот приз выиграл Дойл.The Kemeny constant of a Markov chain. Последняя статья под названием «Почему константа Кемени — это константа?» опубликована несколькими учёными в 2017 году. В статье описана и физическая интерпретация этой константы.Why is Kemeny’s constant a constant?
Примечания
Категория:Марковские процессы