Сегмент плоской кривой — плоская (обычно выпуклая) фигура, заключённая между кривой и её хордой.
Наиболее простой и распространённый пример сегмента плоской кривой: сегмент круга.
Характеристики Основные характеристики сегмента кривой — его ширина, высота, площадь и длина границы.
Сегмент круга
Длина хорды сегмента круга радиуса и высоты вычисляется по теореме Пифагора:
Площадь сегмента круга радиуса опирающегося на центральный угол (в радианах):
Сегмент параболы
Архимед в III веке доказал, что площадь сегмента параболы, отсекаемого от неё прямой, составляет 4/3 от площади вписанного в этот сегмент треугольника (см. рисунок).
Сегмент эллипса
Пусть эллипс задан каноническим уравнением:
Площадь сегмента между дугой, выпуклой влево, и вертикальной хордой, проходящей через точку с абсциссой можно определить по формуле:
Другие виды плоских сегментов Задача нахождения площади и длины дуги произвольного сегмента требует применения методов интегрального исчисления, которое исторически было создано именно для этой цели.
Площадь
Для вычисления площади сегмента чаще всего удобно выбрать соответствующую хорду кривой в качестве оси абсцисс. Тогда площадь сегмента, то есть площадь под кривой , пересекающей ось абсцисс в точках a и b, равна:
Например, площадь под первой аркой синусоиды вычисляется как интеграл:
Другой пример: площадь сегмента (арки) циклоиды, порождённой кругом радиуса равна то есть втрое больше площади порождающего круга.
Длина дуги Длина произвольной кривой, в том числе дуги сегмента, вычисляется по формуле
Например, для вычисления длины первой арки синусоиды необходимо вычислить нормальный эллиптический интеграл Лежандра 2-го рода, который не берётся явно. Поэтому для вычисления подобных интегралов сегодня обычно сразу используют численное интегрирование.
Примечания
Литература
Категория:Планиметрия Категория:Кривые