Пятнадцатиугольник — многоугольник с пятнадцатью сторонами.
Правильный пятнадцатиугольник Правильный пятнадцатиугольник представлен символом Шлефли {15}.
Правильный пятнадцатиугольник имеет внутренние углы 156°. Со стороной a пятнадцатиугольник имеет площадь, задаваемую формулой
Использование Правильный треугольник, десятиугольник и пятнадцатиугольник могут полностью закрыть вершину на плоскости.
Построение Поскольку 15 = 3 × 5 является произведением различных простых чисел Ферма, правильный пятнадцатиугольник можно построить с помощью циркуля и линейки: Следующие построения правильного пятнадцатиугольника с заданной описывающей окружностью аналогично иллюстрации для утверждения XVI в книге IV Начал Евклида.
Сравнение построения с построением Евклида см. на рисунке Пятнадцатиугольник
В построении для заданной описывающей окружности: равна стороне равностороннего треугольника, а равна стороне правильного пятиугольника. Точка делит радиус в пропорции золотого сечения:
Сравнение с первой анимацией (с зелёными прямыми) приведено на следующих двух рисунках. Две дуги (для углов 36° и 24°) смещены против часовой стрелки. Построение не использует отрезок , а вместо него использует отрезок как радиус для второй дуги (угол 36°).
Построение с помощью циркуля и линейки для заданной длины стороны. Построение почти такое же, что и для построения пятиугольника по заданной стороне, оно также начинается с создания отрезка как продолжения стороны, здесь , который делится в пропорции золотого сечения:
Радиус описанной окружности Длина стороны Угол
Симметрия
Правильный пятнадцатиугольник имеет диэдральную симметрию порядка 30 (Dih15), представленную 15 прямыми зеркального отражения. Dih15 имеет 3 диэдральные подгруппы: Dih5, Dih3 и Dih1. А кроме того, ещё четыре циклические симметрии — Z15, Z5, Z3 и Z1, где Zn представляет π/n вращательную симметрию.
В пятнадцатиугольнике имеется 8 различных симметрий. Джон Конвей обозначил симметрии буквами с указанием порядка симметрии после буквы. Он обозначил через r30 полную симметрию отражений Dih15, обозначил через d (diagonal = диагональ) отражения относительно прямых, проходящих через вершины, через p отражения относительно прямых, проходящих через середины рёбер (perpendicular = перпендикуляр), а для пятнадцатиугольника с нечётным числом вершин использовал букву i (для зеркал через вершину и середину ребра) и букву g для циклической симметрии. Символ a1 означает отсутствие симметрии.
Эти низкие степени симметрий определяют степени свободы в определении неправильных пятнадцатиугольников. Только подгруппа g15 не имеет степеней свободы, но может рассматриваться как обладающая ориентированными рёбрами.
Пентадекаграммы Существует три правильных звезды: {15/2}, {15/4}, {15/7} на тех же самых 15 вершинах правильного пятнадцатиугольника, но соединённых через одну, через три или через шесть вершин.
Есть также три правильных : {15/3}, {15/5}, {15/6}, первая состоит из трёх пятиугольников, вторая состоит из пяти правильных треугольников, а третья состоит из трёх пентаграмм.
Составную фигуру {15/3} можно рассматривать как двухмерный эквивалент трёхмерного соединения пяти тетраэдров.
Picture{15/2}{15/3} or 3{5}{15/4}{15/5} or 5{3}{15/6} or 3{5/2}{15/7} 132° 108° 84° 60° 36° 12°
Более глубокие усечения правильного пятнадцатиугольника и пентадекаграмм могут дать изогональные (вершинно транзитивные) промежуточные звёздчатые многоугольники, образованные вершинами, находящимися на одинаковом расстоянии, и двумя длинами рёбер. Вершинно транзитивные функции на пятнадцатиугольникеКвазирегулярныеРавноугольные Квазирегулярныеt{15/2}={30/2}t{15/13}={30/13}t{15/7} = {30/7}t{15/8}={30/8}t{15/11}={30/22}t{15/4}={30/4}
Многоугольники Петри Правильный пятнадцатиугольник является многоугольником Петри для некоторого многогранника высокой размерности, полученного ортогональной проекцией:
14-симплекс (14D) Он также является многоугольником Петри для и .
Примечания
Литература
the University of Kentucky College of Arts & Sciences Mathematics
Ссылки
Категория:Многоугольники Категория:Конструируемые многоугольники