Данная статья содержит сводку разнообразных алгебраических и аналитических тождеств, связанных с логарифмами. Эти тождества особенно полезны при решении алгебраических и дифференциальных уравнений, содержащих логарифмы.
Далее все переменные подразумеваются вещественными, основания логарифма и логарифмируемые выражения положительны, причём основание логарифма не равно 1. Обобщение на комплексные числа см. в статье Комплексный логарифм.
Алгебраические тождества Из определения логарифма следует основное логарифмическое тождествоАлгебра и начала анализа. Учебник для 10—11 классов. 12-е издание, М.: Просвещение, 2002. Стр. 233.:
Ещё несколько равенств, очевидных из определения логарифма:
Логарифм произведения, частного от деления, степени и корня Сводка тождеств: Формула ПримерДоказательство Произведение Частное от деления Степень Степень в основании Корень Корень в основании Существует очевидное обобщение приведённых формул на случай, когда допускаются отрицательные значения переменных, например:
Формулы для логарифма произведения без труда обобщаются на произвольное количество сомножителей:
Логарифм суммы и разности Хотя логарифм суммы (или разности) не выражается через логарифмы слагаемых, приведенные ниже формулы могут оказаться полезными.
здесь
Обобщение:
Замена основания логарифма Логарифм по основанию можно преобразовать в логарифм по другому основанию :
Следствие (при ) — перестановка основания и логарифмируемого выражения:
Другие тождества Если выражения для основания логарифма и для логарифмируемого выражения содержат возведение в степень, для упрощения можно применить следующее тождество:
Это тождество сразу получается, если в логарифме слева заменить основание на по вышеприведённой формуле замены основания. Следствия:
Ещё одно полезное тождество:
Для его доказательства заметим, что логарифмы левой и правой частей по основанию совпадают (равны ), а тогда левая и правая части тождественно равны. Прологарифмировав предыдущее тождество по произвольному основанию получаем ещё одно тождество «обмена основаниями»:
Это тождество легко распространить на любое число сомножителей, например:
Другими словами, в произведении такого вида можно делать произвольную перестановку оснований логарифмов.
Это тождество также просто доказать, прологарифмировав обе части по основанию
Для доказательства этого тождества надо дважды применить приведенное выше правило перестановки:
Аналитические тождества
Предельные соотношения Приведём несколько полезных пределов, связанных с логарифмами:
Производная и интеграл Производная для логарифмической функции вычисляется по формуле:
Определение логарифма через определённый интеграл:
Первообразная для логарифма:
Чтобы привести формулы для интегралов высоких порядков, обозначим е по порядку гармоническое число:
Далее обозначим:
() Мы получаем последовательность функций:
Тогда имеют место тождества: () ()
Примечания
Литература
Переиздание: АСТ, 2003, ISBN 5-17-009554-6.
Ссылки
Категория:Логарифмы Категория:Тождества