Параметр Грюнайзена — безразмерный параметр, который описывает влияние изменения объёма кристаллической решётки на его вибрационные свойства и, как следствие, влияние изменения температуры на размер или динамику решётки. Параметр обычно обозначаемый γ назван в честь Эдуарда Грюнайзена. Под этим термином понимают одно термодинамическое свойство, которое является средневзвешенным средним значением многих отдельных параметров γi, входящих в первоначальную формулировку модели Грюнайзена в терминах фононных нелинейностей.
Термодинамические определения Из-за эквивалентности между многими свойствами и производными в термодинамике (например, соотношения Максвелла), существует множество формулировок параметра Грюнайзена, которые одинаково верны, что приводит к многочисленным различным, но эквивалентным интерпретациям его значения.
Некоторые формулировки для параметра Грюнайзена включают:
где V — объём, и — удельные теплоёмкости при постоянных давлении и объёме, E — энергия, S — энтропия, α — объёмный коэффициент термического расширения, и — адиабатические и изотермические сжимаемости, — скорость звука в среде и ρ — плотность.
Выражение для коэффициента теплового расширения через удельную теплоёмкость и сжимаемость через параметр Грюнайзена также называют законом Грюнайзена.
Параметр Грюнайзена для совершенных кристаллов с парным взаимодействиями Выражение для параметра Грюнайзена для идеального кристалла с парным взаимодействием в d-мерном пространстве записывается как:
,
где — межатомный потенциал, - равновесная постоянная решётки. Соотношение между параметром Грюнайзена и потенциалами Леннард-Джонса, Морзе, и потенциалом Ми приведены в таблице. Решётка Размерность Потенциал Леннард-Джонса Потенциал Ми Потенциал Морзе Цепь Треугольная решетка FCC, BCC «Гиперрешётки» Общая формула Выражение для параметра Грюнайзена одномерной цепи с потенциалом Ми точно совпадает с результатами Макдональда и Роя. Используя связь между параметром Грюнайзена и межатомным потенциалом, можно вывести простое необходимое и достаточное условие отрицательного теплового расширения в совершенных кристаллах с парными взаимодействиями
. Детальное описание параметра Грюнайзена задаёт строгий тест на тип межатомного потенциала.
Микроскопическое определение через фононные частоты Физический смысл этого параметра также можно расширить путем объединения термодинамики с разумной микроскопической моделью для вибрирующих атомов в кристалле. Когда восстанавливающая сила, действующая на атом, смещенный из его положения равновесия, линейна по смещению атома, частоты ω i отдельных фононов не зависят от объёма кристалла или наличия других фононов, а также от теплового расширения (и таким образом, γ) равно нулю. Когда восстанавливающая сила зависит нелинейно от смещения, частоты фононов ωi изменяются с объёмом . Параметр Грюнайзена отдельной колебательной моды с индексом определён как (отрицательная) логарифмическая производная соответствующей частоты :
Связь между микроскопической и термодинамической моделями Используя квазигармоническое приближение для атомных колебаний, макроскопический параметр Грюнайзена (γ) можно связать с описанием того, как частоты колебаний атомов (фононы) внутри кристалла изменяются с меняющимся объёмом (то есть γ i). Например, можно показать, что
если определить как взвешенное среднее
где — вклады индивидуальных фононных мод в теплоёмкость таких что полная теплоёмкость равна
Доказательство Для доказательства нужно ввести теплоёмкость на одну частицу ; Тогда
.
Таким образом, достаточно доказать
.
Левая сторона:
Правая сторона:
Кроме того (соотношения Максвелла):
Эту производную легко определить в квазигармоническом приближении, так как только ωi являются V-зависимыми.
Это дает
Ссылки Определение из мира физики Эрика Вайштайна
Примечания
Категория:Физика конденсированного состояния