__NOTOC__ Гипотеза Даффина — Шаффера — подтверждённая гипотеза в теории метрических чисел, предложенная Ричардом Даффином и Альбетром Шеффером в 1941 году: для всякой функции почти для всех (относительно меры Лебега) неравенство:

имеет бесконечно много решений во взаимно простых числах () тогда и только тогда, когда:

,

где  — функция Эйлера.

Полное доказательство дано в 2019 году Димитрисом Кукулопулосом и Джеймсом Мейнардом.

История Из леммы Бореля — Кантелли следует, что если рациональные приближения существуют, то ряд расходится.Harman (2002) p. 68 Обратное утверждение составляет суть данной гипотезы.

Было получено много доказательств частных случаев гипотезы Даффина — Шеффера. В 1970 году Пал Эрдёш установил, что гипотеза верна, если существует константа такая, что для каждого целого числа или , или .Harman (1998) p. 27 В 1978 году Джеффри Ваалером усилил этот результат на случай .Harman (1998) p. 28 Хейнс, Поллингтон и Велани в 2009 году ещё более усилили результатA. Haynes, A. Pollington, and S. Velani, The Duffin-Schaeffer Conjecture with extra divergence, arXiv, (2009), https://arxiv.org/abs/0811.1234 , гипотеза верна, если существует число , такое что ряд:

.

В 1990 году был доказан многомерный аналог гипотезыHarman (2002) p. 69.

В 2006 году Бересневич и Велани доказали, что аналог гипотезы Даффина — Шеффера для меры Хаусдорфа эквивалентен исходной гипотезе Даффина — Шеффера, которая априори слабее.

Полное доказательство опубликовано Кукулопулосом и Мейнардом в 2019 году.

Примечания

Литература Harman, Glyn (1998). Metric number theory. London Mathematical Society Monographs. New Series. 18. Oxford: Clarendon Press. ISBN 978-0-19-850083-4. Zbl 1081.11057. Harman, Glyn (2002). «One hundred years of normal numbers». In Bennett, M. A.; Berndt, B.C.; Boston, N.; Diamond, H.G.; Hildebrand, A.J.; Philipp, W. (eds.). Surveys in number theory: Papers from the millennial conference on number theory. Natick, MA: A K Peters. pp. 57–74. ISBN 978-1-56881-162-8. Zbl 1062.11052.

Категория:Диофантовы приближения Категория:Доказанные математические гипотезы