Кванти́ли распределе́ния Стью́дента (коэффициенты Стьюдента) — числовые характеристики, широко используемые в задачах математической статистики, таких как построение доверительных интервалов и проверка статистических гипотез.
Определение Пусть — функция распределения Стьюдента с степенями свободы, и . Тогда -квантилью этого распределения называется число такое, что .
Замечания Прямо из определения следует, что случайная величина, имеющая распределение Стьюдента с степенями свободы, превышает значение с вероятностью и не превышает его с вероятностью . Функция строго возрастает для любого . Следовательно, определена её обратная функция , и . Функция не имеет простого представления. Однако, возможно вычислить её значения численно. Распределение симметрично. Следовательно, .
Таблица квантилей Нижеприведённая таблица получена с помощью функции tinv пакета MATLAB. Чтобы получить значение , необходимо найти строку, соответствующую нужному , числу степеней свободы, рассчитываемому по формуле , и колонку, соответствующую нужному . Искомое число находится в таблице на их пересечении. Если необходимо использовать , не приведённое в таблице, то значения можно получить в табличных редакторах (в Excel функия СТЬЮДРАСПОБР; в LibreOffice — TINV). Кроме того, не следует путать запись и . Во второй записи, которая очень часто приводится в качестве ответа, речь идёт о величине «p=1-».
one-tailed test (односторонний) 1-0,9/2 (55 %) 1-0,8/2 (60 %) 1-0,7/2 (65 %) 1-0,6/2 (70 %) 1-0,5/2 (75 %) 1-0,4/2 (80 %) 1-0,3/2 (85 %) 1-0,2/2 (90 %) 1-0,1/2 (95 %) 1-0,05/2 (97,5 %) 1-0,02/2 (99 %) 1-0,01/2 (99,5 %) 1-0,005/2 (99,75 %) 1-0,002/2 (99,9 %) 1-0,001/2 (99,95 %) two-tailed test (двухсторонний) 1-0,9 (=0,9, P=0,1 (10 %) 1-0,8 (=0,8, P=0,2 (20 %) 1-0,7 (=0,7, P=0,3 (30 %) 1-0,6 (=0,6, P=0,4 (40 %) 1-0,5 (=0,5, P=0,5 (50 %) 1-0,4 (=0,4, P=0,6 (60 %) 1-0,3 (=0,3, P=0,7 (70 %) 1-0,2 (=0,2, P=0,8 (80 %) 1-0,1 (=0,1, P=0,9 (90 %) 1-0,05 (=0,05, P=0,95 (95 %) 1-0,02 (=0,02, P=0,98 (98 %) 1-0,01 (=0,01, P=0,99 (99 %) 1-0,005 (=0,005, P=0,995 (99,5 %) 1-0,002 (=0,002, P=0,998 (99,8 %) 1-0,001 (=0,001, P=0,999 (99,9 %) 1 0,1584 0,3249 0,5095 0,7265 1,0000 1,3764 1,9626 3,0777 6,3138 12,7062 31,8205 63,657 127,32 318,31 636,62 2 0,1421 0,2887 0,4447 0,6172 0,8165 1,0607 1,3862 1,8856 2,9200 4,3027 6,9646 9,9248 14,089 22,327 31,599 3 0,1366 0,2767 0,4242 0,5844 0,7649 0,9785 1,2498 1,6377 2,3534 3,1824 4,5407 5,8409 7,4533 10,215 12,924 4 0,1338 0,2707 0,4142 0,5686 0,7407 0,9410 1,1896 1,5332 2,1318 2,7764 3,7469 4,6041 5,5976 7,1732 8,6103 5 0,1322 0,2672 0,4082 0,5594 0,7267 0,9195 1,1558 1,4759 2,0150 2,5706 3,3649 4,0321 4,7733 5,8934 6,8688 6 0,1311 0,2648 0,4043 0,5534 0,7176 0,9057 1,1342 1,4398 1,9432 2,4469 3,1427 3,7074 4,3168 5,2076 5,9588 7 0,1303 0,2632 0,4015 0,5491 0,7111 0,8960 1,1192 1,4149 1,8946 2,3646 2,9980 3,4995 4,0293 4,7853 5,4079 8 0,1297 0,2619 0,3995 0,5459 0,7064 0,8889 1,1081 1,3968 1,8595 2,3060 2,8965 3,3554 3,8325 4,5008 5,0413 9 0,1293 0,2610 0,3979 0,5435 0,7027 0,8834 1,0997 1,3830 1,8331 2,2622 2,8214 3,2498 3,6897 4,2968 4,7809 10 0,1289 0,2602 0,3966 0,5415 0,6998 0,8791 1,0931 1,3722 1,8125 2,2281 2,7638 3,1693 3,5814 4,1437 4,5869 11 0,1286 0,2596 0,3956 0,5399 0,6974 0,8755 1,0877 1,3634 1,7959 2,2010 2,7181 3,1058 3,4966 4,0247 4,437 12 0,1283 0,2590 0,3947 0,5386 0,6955 0,8726 1,0832 1,3562 1,7823 2,1788 2,6810 3,0545 3,4284 3,9296 4,3178 13 0,1281 0,2586 0,3940 0,5375 0,6938 0,8702 1,0795 1,3502 1,7709 2,1604 2,6503 3,0123 3,3725 3,852 4,2208 14 0,1280 0,2582 0,3933 0,5366 0,6924 0,8681 1,0763 1,3450 1,7613 2,1448 2,6245 2,9768 3,3257 3,7874 4,1405 15 0,1278 0,2579 0,3928 0,5357 0,6912 0,8662 1,0735 1,3406 1,7531 2,1314 2,6025 2,9467 3,286 3,7328 4,0728 16 0,1277 0,2576 0,3923 0,5350 0,6901 0,8647 1,0711 1,3368 1,7459 2,1199 2,5835 2,9208 3,252 3,6862 4,015 17 0,1276 0,2573 0,3919 0,5344 0,6892 0,8633 1,0690 1,3334 1,7396 2,1098 2,5669 2,8982 3,2224 3,6458 3,9651 18 0,1274 0,2571 0,3915 0,5338 0,6884 0,8620 1,0672 1,3304 1,7341 2,1009 2,5524 2,8784 3,1966 3,6105 3,9216 19 0,1274 0,2569 0,3912 0,5333 0,6876 0,8610 1,0655 1,3277 1,7291 2,0930 2,5395 2,8609 3,1737 3,5794 3,8834 20 0,1273 0,2567 0,3909 0,5329 0,6870 0,8600 1,0640 1,3253 1,7247 2,0860 2,5280 2,8453 3,1534 3,5518 3,8495 21 0,1272 0,2566 0,3906 0,5325 0,6864 0,8591 1,0627 1,3232 1,7207 2,0796 2,5176 2,8314 3,1352 3,5272 3,8193 22 0,1271 0,2564 0,3904 0,5321 0,6858 0,8583 1,0614 1,3212 1,7171 2,0739 2,5083 2,8188 3,1188 3,505 3,7921 23 0,1271 0,2563 0,3902 0,5317 0,6853 0,8575 1,0603 1,3195 1,7139 2,0687 2,4999 2,8073 3,104 3,485 3,7676 24 0,1270 0,2562 0,3900 0,5314 0,6848 0,8569 1,0593 1,3178 1,7109 2,0639 2,4922 2,7969 3,0905 3,4668 3,7454 25 0,1269 0,2561 0,3898 0,5312 0,6844 0,8562 1,0584 1,3163 1,7081 2,0595 2,4851 2,7874 3,0782 3,4502 3,7251 26 0,1269 0,2560 0,3896 0,5309 0,6840 0,8557 1,0575 1,3150 1,7056 2,0555 2,4786 2,7787 3,0669 3,435 3,7066 27 0,1268 0,2559 0,3894 0,5306 0,6837 0,8551 1,0567 1,3137 1,7033 2,0518 2,4727 2,7707 3,0565 3,421 3,6896 28 0,1268 0,2558 0,3893 0,5304 0,6834 0,8546 1,0560 1,3125 1,7011 2,0484 2,4671 2,7633 3,0469 3,4082 3,6739 29 0,1268 0,2557 0,3892 0,5302 0,6830 0,8542 1,0553 1,3114 1,6991 2,0452 2,4620 2,7564 3,038 3,3962 3,6594 30 0,1267 0,2556 0,3890 0,5300 0,6828 0,8538 1,0547 1,3104 1,6973 2,0423 2,4573 2,75 3,0298 3,3852 3,646 31 0,1267 0,2555 0,3889 0,5298 0,6825 0,8534 1,0541 1,3095 1,6955 2,0395 2,4528 2,744 3,0221 3,3749 3,6335 32 0,1267 0,2555 0,3888 0,5297 0,6822 0,8530 1,0535 1,3086 1,6939 2,0369 2,4487 2,7385 3,0149 3,3653 3,6218 33 0,1266 0,2554 0,3887 0,5295 0,6820 0,8526 1,0530 1,3077 1,6924 2,0345 2,4448 2,7333 3,0082 3,3563 3,6109 34 0,1266 0,2553 0,3886 0,5294 0,6818 0,8523 1,0525 1,3070 1,6909 2,0322 2,4411 2,7284 3,002 3,3479 3,6007 35 0,1266 0,2553 0,3885 0,5292 0,6816 0,8520 1,0520 1,3062 1,6896 2,0301 2,4377 2,7238 2,996 3,34 3,5911 36 0,1266 0,2552 0,3884 0,5291 0,6814 0,8517 1,0516 1,3055 1,6883 2,0281 2,4345 2,7195 2,9905 3,3326 3,5821 37 0,1265 0,2552 0,3883 0,5289 0,6812 0,8514 1,0512 1,3049 1,6871 2,0262 2,4314 2,7154 2,9852 3,3256 3,5737 38 0,1265 0,2551 0,3882 0,5288 0,6810 0,8512 1,0508 1,3042 1,6860 2,0244 2,4286 2,7116 2,9803 3,319 3,5657 39 0,1265 0,2551 0,3882 0,5287 0,6808 0,8509 1,0504 1,3036 1,6849 2,0227 2,4258 2,7079 2,9756 3,3128 3,5581 40 0,1265 0,2550 0,3881 0,5286 0,6807 0,8507 1,0500 1,3031 1,6839 2,0211 2,4233 2,7045 2,9712 3,3069 3,551 41 0,1264 0,2550 0,3880 0,5285 0,6805 0,8505 1,0497 1,3025 1,6829 2,0195 2,4208 2,7012 2,967 3,3013 3,5442 42 0,1264 0,2550 0,3880 0,5284 0,6804 0,8503 1,0494 1,3020 1,6820 2,0181 2,4185 2,6981 2,963 3,296 3,5377 43 0,1264 0,2549 0,3879 0,5283 0,6802 0,8501 1,0491 1,3016 1,6811 2,0167 2,4163 2,6951 2,9592 3,2909 3,5316 44 0,1264 0,2549 0,3878 0,5282 0,6801 0,8499 1,0488 1,3011 1,6802 2,0154 2,4141 2,6923 2,9555 3,2861 3,5258 45 0,1264 0,2549 0,3878 0,5281 0,6800 0,8497 1,0485 1,3006 1,6794 2,0141 2,4121 2,6896 2,9521 3,2815 3,5203 46 0,1264 0,2548 0,3877 0,5281 0,6799 0,8495 1,0483 1,3002 1,6787 2,0129 2,4102 2,687 2,9488 3,2771 3,515 47 0,1263 0,2548 0,3877 0,5280 0,6797 0,8493 1,0480 1,2998 1,6779 2,0117 2,4083 2,6846 2,9456 3,2729 3,5099 48 0,1263 0,2548 0,3876 0,5279 0,6796 0,8492 1,0478 1,2994 1,6772 2,0106 2,4066 2,6822 2,9426 3,2689 3,5051 49 0,1263 0,2547 0,3876 0,5278 0,6795 0,8490 1,0475 1,2991 1,6766 2,0096 2,4049 2,68 2,9397 3,2651 3,5004 50 0,1263 0,2547 0,3875 0,5278 0,6794 0,8489 1,0473 1,2987 1,6759 2,0086 2,4033 2,6778 2,937 3,2614 3,496 100 0,1260 0,2540 0,3864 0,5261 0,6770 0,8452 1,0418 1,2901 1,6602 1,9840 2,3642 2,6259 2,8707 3,1737 3,3905 1000 0,1257 0,2534 0,3854 0,5246 0,6747 0,8420 1,0370 1,2824 1,6464 1,9623 2,3301 2,5808 2,8133 3,0984 3,3003 Inf 0,1257 0,2534 0,3853 0,5244 0,6745 0,8416 1,0364 1,2816 1,6449 1,9600 2,3263 2,5758 2,8070 3,0902 3,2905
Пример (=0,2, k=4); (=0,8, k=4).
См. также Средняя квадратическая погрешность Доверительный интервал для математического ожидания нормальной выборки
Категория:Математическая статистика Категория:Математические таблицы