K-теория — математическая теория, изучающая кольца, порождённые векторными расслоениями над топологическими пространствами или схемами. В алгебраической топологии эта обобщённая теория когомологий называется топологической K-теорией. В алгебре и алгебраической геометрии соответствующий раздел называется алгебраической K-теорией. Также она играет важную роль в операторных алгебрах и её можно рассматривать как теорию определенных видов инвариантов больших матриц.
K-теория предполагает построение семейств K-функторов, переводящих топологические пространства или схемы в соответствующие кольца; эти кольца отражают некоторые аспекты структуры исходных пространств или схем. Как и с функторами в категорию групп, используемой в алгебраической топологии, это функториальное отображение даёт возможность легче вычислить некоторые топологические свойства из отображенных колец, чем из исходных пространств или схем. Примеры результатов, полученных из подхода K-теории, включают теорему Гротендика — Римана — Роха, периодичность Ботта, теорему индекса Атьи — Зингера и операции Адамса.
В физике высоких энергий K-теория и, в частности, K-теория c кручением используется в теории струн типа II, где было высказано предположение, что они классифицируют D-браны, напряжённости поля Рамонда — Рамонда, а также некоторые спиноры на обобщенных комплексных многообразиях.
В физике конденсированного состояния K-теория была использована для классификации топологических изоляторов, сверхпроводников и устойчивых поверхностей Ферми.
Конструкция Гротендика Конструкция Гротендика является необходимым компонентом для построения K-теории. Пусть — моноид. Обозначим через следующее отношение эквивалентности на
если существует такое что Тогда множество имеет структуру группы , где:
Классы эквивалентности в этой группе следует рассматривать как формальные разности элементов в абелевом моноиде.
Чтобы лучше понять эту группу, рассмотрим некоторые классы эквивалентности абелева моноида . Обозначим единицу моноида как . Во-первых, для любого , так как мы можем положить и применить равенство из соотношения эквивалентности, чтобы получить . Это означает
следовательно, у нас есть аддитивный обратный для каждого элемента в . Поэтому на классы эквивалентности можно смотреть как на формальные разности . Другим полезным наблюдением является инвариантность классов эквивалентности при масштабировании:
для всех
Конструкцию Гротендика можно рассматривать как функтор . Он сопряжён слева по отношению к соответствующему забывающему функтору Другими словами, если —абелев моноид, —абелева группа, то каждому гомоморфизму абелевых моноидов можно сопоставить единственный гомоморфизм групп .
Наглядным примером для рассмотрения является абелев моноид — множество натуральных чисел. Мы можем видеть, что . Для любой пары мы можем найти минимальный представитель , используя инвариантность при масштабировании. Например,
Вообще, если мы положим , то найдем, что
, которое имеет форму или
Это показывает, что мы можем рассматривать как положительные целые числа, а — как отрицательные целые числа.
Определения Существует ряд основных определений K-теории: два из топологии и два из алгебраической геометрии.
Пусть — компактное хаусдорфово топологическое пространство. Обозначим как множество конечномерных векторных расслоений над с точностью до изоморфизма, и пусть класс изоморфизма векторного расслоения обозначается . Так как классы изоморфизма векторных расслоений ведут себя хорошо по отношению к прямым суммам, мы можем определить прямую сумму двух элементов как
Ясно, что является абелевым моноидом, где единица задается тривиальным векторным расслоением . Тогда мы сможем применить конструкцию Гротендика, чтобы получить абелеву группу из этого абелева моноида. Эта группа называется К-теорией и обозначается .
позволяет дать альтернативное описание векторных расслоений как проективных модулей над кольцом непрерывных комплекснозначных функций на Затем их можно отождествить с идемпотентными матрицами в некотором кольце матриц . Мы можем определить классы эквивалентности идемпотентных матриц и образовать абелев моноид . Его конструкция Гротендика также называется .
В алгебраической геометрии та же конструкция может быть применена к алгебраическим векторным расслоениям над гладкими схемами. Также есть альтернативная конструкция для любой нётеровой схемы . А именно, на множестве классов изоморфизма когерентных пучков на можно ввести отношение эквивалентности: если есть короткая точная последовательность
Это дает группу , которая изоморфна , если схема гладкая. На группе также есть структура кольца, определяемая как
Используя , мы имеем, что
является изоморфизмом колец. Следовательно, мы можем использовать для теории пересечений.
Ранняя история Можно сказать, что эта тема начинается с Александра Гротендика (1957), который использовал его для формулировки своей теоремы Гротендика — Римана — Роха. Название «K-теория» происходит от немецкого «Klasse» («класс»). Гротендик исследовал когерентные пучки на алгебраическом многообразии «X». Вместо того, чтобы работать непосредственно с пучками, он определил группу, используя классы изоморфизма пучков как образующие, с соотношением, которое идентифицирует любое расширение двух пучков с их суммой. Получившаяся группа называется « K (X)», когда рассматриваются только локально свободные пучки, или «G (X)», когда все пучки когерентные. Любая из этих двух конструкций называется группой Гротендика «K (X)» имеет когомологическое поведение и «G (X)» имеет гомологическое поведение.
Если " X " — гладкое многообразие, то эти две группы одинаковы. Если это гладкое аффинное многообразие, то все расширения локально свободных пучков расщепляются, таким образом, у группы есть альтернативное определение.
В топологии, применяя ту же конструкцию к векторным расслоениям, Майкл Атья и Фридрих Хирцебрух определили «K(X)» для топологического пространства «X» в 1959 году и используя теорему о периодичности Ботта они сделали ее основой расширенной теории когомологий. Это сыграло важную роль во втором доказательстве теоремы Атьи — Зингера об индексе (около 1962 года). Кроме того, этот подход привел к некоммутативной K-теории для C*-алгебр.
Уже в 1955 году Жан-Пьер Серр использовал параллель между векторными расслоениями и проективными модулями для формулировки гипотезы Серра, которая утверждает, что каждый конечно порожденный проективный модуль над кольцом многочленов является свободным; это утверждение оказалось верным, но было доказано лишь 20 лет спустя. (Теорема Серра — Свана является еще одним аспектом этой аналогии.)
Дальнейшее развитие Другим историческим источником алгебраической K-теории была работа Дж. Г. К. Уайтхеда и соавторов о том, что позже стало известно как кручение Уайтхеда.
Затем последовал период, в течение которого были даны различные частичные определения «высших функторов K-теории». Наконец, два полезных и эквивалентных определения были даны Даниэлем Квилленом с использованием теории гомотопий в 1969 и 1972 гг. Вариант был также дан Фридхельмом Вальдхаузеном для изучения «алгебраической K-теории пространств», которая связана с изучением псевдоизотопий. Много современных исследований высшей K-теории связаны с алгебраической геометрией и изучением .
Соответствующие конструкции, задействующие вспомогательную квадратичную форму, получили название . Это главный инструмент хирургии Морса.
В теории струн, классификация К-теории натяжений полей Рамонда — Рамонда и зарядов стабильных D-бран впервые была предложена в 1997 годуРубен Минасян (директор по исследованиям) ), и Грегори Муром в К-теория и заряд Рамонда — Рамонда .
Примеры Самый простой пример группы Гротендика — это группа Гротендика точки для поля . Поскольку векторное расслоение над этим пространством является просто конечномерным векторным пространством, который является свободным объектом в категории когерентных пучков (следовательно, и проективным), моноид классов изоморфизма является , в соответствии с размерностью векторного пространства. Соответствующая группа Гротендика равна . Одним из важных свойств группы Гротендика нётеровой схемы является то, что . Следовательно, группа Гротендика любой артиновой -алгебры равна . Еще одной важной формулой для группы Гротендика является формула проективного расслоения: если —векторное расслоение ранга «r» над нётеровой схемой , то группа Гротендика проективного расслоения —это свободный -модуль ранга «r» с базисом . Эта формула позволяет вычислить группу Гротендика .
Приложения
Виртуальные расслоения Одним из полезных применений группы Гротендика является определение виртуальных векторных расслоений. Например, если у нас есть вложение гладких пространств , то есть короткая точная последовательность
где —конормальный пучок в . Если у нас есть особое пространство , вложенное в гладкое пространство , мы определяем виртуальный конормальный пучок как
Другое полезное применение виртуальных расслоений связано с определением виртуального касательного расслоения для пересечения пространств: пусть —проективные подмногообразия гладкого проективного многообразия. Тогда мы можем определить виртуальное касательное расслоение их пересечения как
Концевич использует эту конструкцию в одной из своих работ.
Характеры Чженя Классы Чженя могут быть использованы для построения гомоморфизма колец из топологической K-теории пространства в (пополнение) его кольца рациональных когомологий. Символ Чженя «ch» линейного расслоения «L» определяется формулой
В более общем случае, если является прямой суммой линейных расслоений, с первыми классами Чженя характер Чженя определяется аддитивно
Символ Чженя полезен отчасти потому, что он облегчает вычисление класса Чженя тензорного произведения. Символ Чженя используется в формулировки теоремы Хирцебруха — Римана — Роха.
Эквивариантная K-теория Эквивариантная алгебраическая K-теория является алгебраической K-теорией, связанной с категорией эквивариантных когерентных пучков на алгебраической схеме с действием линейной алгебраической группы , через Q-конструкцию Квиллена; таким образом, по определению,
В частности, — это Гротендиковская группа . Эта теория была разработана Р. У. Томасоном в 1980-х годах.Charles A. Weibel, Robert W. Thomason (1952—1995) . В частности, он доказал эквивариантные аналоги фундаментальных теорем, таких как теорема локализации.
См. также
Примечания
Литература
Ссылки
Источники Grothendieck-Riemann-Roch Max Karoubi’s Page K-theory preprint archive