Поляриза́ция в теории представлений — максимальное вполне изотропное подпространство определённой кососимметрической билинейной формы на алгебре Ли. Понятие поляризации играет важную роль при построении неприводимых унитарных представлений некоторых классов групп Ли , а также в гармоническом анализе на группах Ли и математической физике.
Определение Пусть — группа Ли, — её алгебра Ли, — сопряжённое к пространство. Посредством обозначим значение линейного функционала (ковектора) на векторе . Подалгебра алгебры называется подчинённой ковектору , если выполняется условие , или, более коротко, . Пусть, далее, группа действует на пространстве коприсоединённым представлением . Обозначим посредством орбиту этого действия, проходящую через точку , а — алгебру Ли группы — стабилизатора точки . Подалгебра , подчинённая функционалу , называется поляризацией алгебры относительно , или, короче, поляризацией ковектора , если она имеет максимально возможную размерность, а именно .
Условие Пуканского Исторически важную роль в развитии теории представлений сыграло приведённое ниже условие, найденное Л. Пуканским.
Пусть — поляризация, соответствующая ковектору , — её аннулятор, то есть совокупность всех функционалов , значение которых на равно нулю: . Поляризация называется нормальной, если выполнено условие, которое называется условием Пуканского:
Л. Пуканский показал, что условие () гарантирует применимость А. Кириллова, разработанного изначально для нильпотентных групп Ли, также к более широкому классу разрешимых групп.
Свойства Поляризация — это максимальное вполне изотропное подпространство билинейной формы на алгебре Ли . Поляризация существует не для всякой пары . Если для функционала существует поляризация, то она существует и для любой точки орбиты , причём если — поляризация для , то — поляризация для . Таким образом, существование поляризации — свойство орбиты в целом. Если алгебра Ли вполне разрешима, то для неё существует поляризация относительно каждой точки . Если — орбита общего положения коприсоединённого представления произвольной группы Ли, то относительно каждой её точки имеется поляризация, причём её можно выбрать разрешимой. Если для орбиты существует поляризация, то вложение может быть реализовано функциями , линейными по переменным , где — канонические координаты для формы Кириллова на орбите ..
Примечания
Категория:Общая алгебра Категория:Теория представлений алгебр Ли