Факторизация гауссовых чисел — разложение целых гауссовых чисел на простые гауссовы множители.

Предварительные замечания Особенность делимости в кольце гауссовых чисел отличающая её от делимости натуральных чисел: кольцо содержит четыре делителя единицы норма которых (квадрат комплексного модуля) равна 1. Два гауссовых числа называются ассоциированными, если одно получается из другого умножением на делитель единицы. Легко видеть, что ассоциированность — отношение эквивалентности. Пример: гауссовы числа и ассоциированы, поскольку: . У каждого ненулевого гауссова числа есть три ассоциированных с ним, и делители у них у всех совпадают. Все делители чисел также определены с точностью до ассоциированности.

Для гауссовых чисел имеет место аналог основной теоремы арифметики: каждое гауссово число, не являющееся нулём или делителем единицы, разлагается на простые множители, причём это разложение однозначно с точностью до порядка и ассоциированности множителей.

Пример: . Множители этих двух, по виду разных, разложений попарно ассоциированы: так что однозначность не нарушается.

Алгоритм разложения гауссового числа на простые множители Чтобы практически разложить гауссово число на простые множители, можно использовать следующее их свойство: все делители гауссова числа являются также делителями его нормы. При этом норма содержит также «лишние» простые множители, соответствующие сопряжённому к числу.

Таким образом, начать следует с разложения нормы числа на простые натуральные множители. Множитель 2, если он присутствует в разложении нормы, разлагается как . Следует включить в результирующее разложение те из этих множителей (в соответствующей степени), на которые делится нацело. Кроме числа 2, остальные множители нормы — нечётные. Множитель вида является простым гауссовым числом, поэтому он делит не только норму , но и само . Но тогда этот множитель делит и сопряжённое число . Отсюда вытекает, что множитель вида входит в разложение нормы всегда в чётной степени, а в разложение самого — в степени, вдвое меньшей. Множитель вида , согласно теореме Ферма — Эйлера, можно разложить на произведение сопряжённых простых гауссовых чисел (или, что то же самое, на сумму квадратов натуральных чисел). И здесь следует делением выяснить, какой из сомножителей относится к исходному числу, а какой — к сопряжённому.

Например, для разложения на простые множители (норма — 225) выделяются простые натуральные множители: . По предыдущему, . При этом делится только на и не делится на . Частное от деления на равно поэтому окончательный результат: .

Таблица разложения гауссовых чисел с нормой до 1000

Соглашения Данная таблица показывает для всех гауссовых чисел с нормой от 2 до 1000, является ли это число простым гауссовым. Если да, то такое число помечено в таблице кодом: , а если нет, то приводится его разложение на простые гауссовы множители. Отметим, что простое натуральное число не обязано быть простым гауссовым числом; например, числа 2 и 5 как гауссовы числа не являются простыми:

В первой колонке таблицы — норма гауссова числа (не всякое натуральное число может быть нормой гауссова числа). Во второй — числа, имеющие эту норму, с точностью до ассоциированности — из 4 чисел, ассоциированных с числом x: () в таблице представлено одно, у которого вещественная часть положительна, а мнимая — неотрицательна. Например, во второй строке таблицы разложение числа охватывает также разложения

Каждое разложение, показанное в строке таблицы, имеет ещё по крайней мере три варианта, получаемых заменой простых множителей на ассоциированные с ними. Пример:

Поэтому принято следующее соглашение: из 4 вариаций каждого простого множителя представлена та, что находится в правой полуплоскости комплексной плоскости, и у которой абсолютное значение вещественной части не меньше, чем абсолютное значение мнимой части.

Гауссовы числа упорядочены по возрастанию их нормы (). Не всякое натуральное число может быть гауссовой нормой (см. , и ).

Таблица факторизации Норма Число Разложение 2 4 5 8 9 10 13 16 17 18 20 25 26 29 32 34 36 37 40 41 45 49 50 52 53 58 61 64 65 68 72 73 74 80 81 82 85 89 90 97 98 100 101 104 106 109 113 116 117 121 122 125 128 130 136 137 144 145 146 148 149 153 157 160 162 164 169 170 173 178 180 181 185 193 194 196 197 200 202 205 208 212 218 221 225 226 229 232 233 234 241 242 244 245 Норма Число Разложение 250 256 257 260 261 265 269 272 274 277 281 288 289 290 292 293 296 298 305 306 313 314 317 320 324 325 328 333 337 338 340 346 349 353 356 360 361 362 365 369 370 373 377 386 388 389 392 394 397 400 401 404 405 409 410 416 421 424 425 433 436 441 442 445 449 450 452 457 458 461 464 466 468 477 481 482 484 485 488 490 493 Норма Число Разложение 500 505 509 512 514 520 521 522 529 530 533 538 541 544 545 548 549 554 557 562 565 569 576 577 578 580 584 585 586 592 593 596 601 605 610 612 613 617 625 626 628 629 634 637 640 641 648 650 653 656 657 661 666 673 674 676 677 680 685 689 692 697 698 701 706 709 712 720 722 724 725 729 730 733 738 740 745 746 Норма Число Разложение 754 757 761 765 769 772 773 776 778 784 785 788 793 794 797 800 801 802 808 809 810 818 820 821 829 832 833 841 842 845 848 850 853 857 865 866 872 873 877 881 882 884 890 898 900 901 904 905 909 914 916 922 925 928 929 932 936 937 941 949 953 954 961 962 964 965 968 970 976 977 980 981 985 986 997 1000

См. также Таблица делителей Факторизация целых чисел

Примечания

Литература

Ссылки

OEIS: Gaussian Primes

Категория:Комплексные числа Г