Категория метрических пространств или Met — категория, объектами которой являются метрические пространства, а морфизмами — короткие отображения. (Поскольку композиция из двух коротких отображений является коротким, эти объекты и морфизмы действительно образуют категорию.)
Начало изучению этой категории было дано Джоном Исбелом.
Стрелки Мономорфизмы в Met являются инъективными короткими отображениями. Эпиморфизмы — короткие отображения с везде плотным образом. Изоморфизмы — изометрии. Соответственно, экстремальный мономорфизм — это отображение сохраняющее расстояния и имеющее замкнутый образ.
Например, включение рациональных чисел в вещественные числа является мономорфизмом и эпиморфизмом, но не изоморфизмом.
Пустое метрическое пространство является начальным объектом Met; любое одноточечное метрическое пространство является терминальным объектом. Поскольку начальный объект и конечные объекты различаются, в Met нет нулевых объектов.
Любой инъективный объект в Met является терминальным, то есть соответствует одноточечному пространству. Инъективные метрические пространства инективны относительно экстремальных мономорфизмов.
Произведения Произведение конечного множества метрических пространств в Met является прямым произведением пространств с расстоянием в пространстве произведений определяется как сумма расстояний в координатных пространствах.
Произведение бесконечного множества метрических пространств может не существовать, поскольку расстояния в базовых пространствах могут не иметь супремума. То есть, Мет не является полной категорией, но она конечно замкнута. В Met нет копроизведения.
Вариации и обобщения Met не единственная категория, чьи объекты являются метрическими пространствами; другие включают категорию равномерно непрерывных функций, категорию липшицевых функций и категорию квазилипшицевых отображений. Короткие отображения являются как равномерно непрерывными, так и липшицевыми, с постоянной Липшица не более единицы.
Также оказывается удобно расширить категорию метрических пространств, разрешив например расстояниям принимать значение или переходу к преметрическим пространствам, то есть отказавшись от нереавенства треугольника и симметрии для метрики.
Ссылки
,
Категория:Метрическая геометрия Категория:Теория категорий