Уравнения движения в неинерциальной системе отсчёта — уравнения движения материальной точки (1) в поле консервативных сил в классической механике, записанные в неинерциальной системе отсчёта (НСО), движущейся относительно инерциальной системы (ИСО) со скоростью поступательного движения и угловой скоростью вращательного движения .
В ИСО уравнение движения Лагранжа имеет видПод производной скалярной величины по вектору здесь и далее понимается вектор, компоненты которого представляют собой производные этой скалярной величины по соответствующим компонентам вектора.:
в НСО уравнение приобретает четыре дополнительных члена (так называемые «эйлеровы силы инерции»): (1) где: жирным шрифтом обозначены векторные величины, квадратными скобками — векторное умножение; индекс относится к величинам в ИСО; — время; — масса точки; — вектор скорости точки; — радиус-вектор точки; — потенциальная энергия.
Вывод формулы Всякое движение может быть разложено в композицию поступательного и вращательного движений. Потому переход от ИСО К0 к НСО К может рассматриваться в виде двух последовательных шагов: вначале переход от К0 к промежуточной системе отсчёта К' , которая движется поступательно по отношению к К0 со скоростью , а затем уже к К, которая вращается относительно К с угловой скоростью .
Принцип наименьшего действия не зависит от системы координат, вместе с ним уравнения Лагранжа также применимы в любой системе координат.
Лагранжиан в К''', (2)
получается путём подстановки поступательного преобразования скорости частицы в лагранжиан, записанный в ИСО:
Выражения и для ИСО, и для НСО описывают эволюцию частицы в соответствующих системах отсчёта — закон сохранения энергии.
Как известно, члены, представляющие собой полные производные по времени некоторых функций, могут быть исключены из лагранжиана, так как они не влияют на уравнения движения (см. Лагранжева механика). В формуле (2) является функцией времени, и, тем самым, полной производной другой функции времени, соответствующий член может быть опущен. Поскольку ,
где полная производная по времени опять-таки может быть опущена. В итоге лагранжиан (2) преобразуется в
(3)
При переходе от К к К (чистое вращение) скорость изменяется на . При подстановке в уравнение (3) образуется лагранжиан в К'' (учитывая, что ):
Полный дифференциал этого лагранжиана выглядит как: . Применив формулу Лагранжа и изменив порядок операций в смешанном произведении векторов, дифференциал лагранжиана можно переписать в виде:
Частные производные лагранжиана по и соответственно будут:
После подстановки частных производных в стандартное уравнение движения в форме Эйлера-Лагранжа
получается формула (1).
Физический смысл Векторное уравнение (1) описывает движение материальной точки в неинерциальной системе отсчёта (НСО), движущейся относительно инерциальной системы (ИСО) со скоростью поступательного движения и угловой скоростью вращательного движения. При этом, приложенная к телу внешняя сила, обеспечивающая поступательное движение, заменена потенциальным полем, в котором действуют консервативные силы.Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. § 34. Движение двёрдого тела. //Т. I. Механика. Теоретическая физика. — 5. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — С. 166—168. — 222 с. — ISBN 5-9221-0055-6.
При этом, движение НСО относительно ИСО называют переносным, вследствие чего, скорости, ускорения и силы, связанные с НСО, также называются переносными.Тарг С. М. Краткий курс теоретической механики. - 20.- Москва «Высшая школа», 2010, — С. 156 — 416 с. ISBN 978-5-06-006193-2Николаев В. И. Силы инерции в общем курсу физики.—"Физическое образование в вузах", т.6, N 2, 2000г. — ISSN 1609-3143 (print), 1607-2340 (on-line).
Выражение — результирующий вектор суммы сил, находящихся в правой части уравнения (1)Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. § 34. Движение двёрдого тела. //Т. I. Механика. Теоретическая физика. — 5. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004.— С. 168. — 222 с. — ISBN 5-9221-0055-6..
Частная производная потенциальной энергии частицы во внешнем поле по радиусу—вектору «точки приложения» сил определяет сумму всех сил, действующих со стороны внешних источников,
.
Выражение переносной силы, действующей в однородном силовом поле, которое, в свою очередь, вызвано ускоренным поступательным движением системы, имеет вид
,
где — ускорение поступательного движения системы отсчёта .
«Силы инерции» в уравнении (1), обусловленные вращением системы отсчета, слагаются из трех частей.
Первая часть представляет из себя переносную силу, связанную с неравномерностью вращения системы отсчёта: .
Вторая часть
является выражением силы Кориолиса. В отличие от практически всех рассматриваемых в классической механике не диссипативных сил, её величина зависит от скорости частицы.
Третья часть представлена переносной центробежной силой . Она лежит в плоскости, проходящей через и , и направлена перпендикулярно к оси вращения НСО (то есть направлению ), в сторону от оси. По величине центробежная сила равна , где — расстояние от частицы до оси вращения.
Примечания
Литература
Категория:Теоретическая механика Категория:Математическая физика