K3-поверхность (читается ка-три, в честь Куммера, Келера и Кодаиры) — связная односвязная компактная комплексная поверхность (то есть комплексное многообразие комплексной размерности два), допускающая нигде не вырожденную голоморфную дифференциальную форму степени два. В алгебраической геометрии, где рассматриваются многообразия над полями иными, нежели комплексные числа, K3-поверхностью называется алгебраическая поверхность с тривиальным каноническим расслоением, не допускающая алгебраических 1-форм.Всякая алгебраическая комплексная K3-поверхность является K3-поверхностью в смысле дифференциально-геометрического определения; обратное, вообще говоря, неверно.
Квартика в ℂP3 200px|thumb|Вещественные точки некоторой квартики Одним из самых простых примеров K3-поверхностей даётся гладкими поверхностями четвёртой степени в комплексном проективном пространстве. Для того, чтобы доказать, что эти поверхности удовлетворяют определению K3-поверхности, однако, требуется некоторое знакомство с теорией линейных расслоений.
Именно, с точки зрения линейных расслоений, однородные функции степени на проективном пространстве суть сечения линейного расслоения — -ной степени тавтологического расслоения . Если — некоторое линейное расслоение, и — его сечение, притом его нулевой уровень есть гладкое подмногообразие, то его дифференциал определяет в каждой точке отображение , ядро которого есть в точности . Тем самым, учитывая гладкость , имеем изоморфизм расслоений . Этот фактор называется нормальным расслоением; в частности, видим, что нормальное расслоение к гладкой квартике изоморфно .
С другой стороны, нормальное расслоение вписывается в точную последовательность . Дуализируя, получаем точную последовательность , и, вычисляя старшую внешнюю степень и пользуясь её функториальными свойствами, имеем изоморфизм линейных расслоений , или, по двойственности, (эта формула называется формулой присоединения). Применяя формулу присоединения к случаю, когда (каноническое расслоение которого изоморфно согласно точной последовательности Эйлера), имеем . В частности, когда — гладкая гиперповерхность степени , её каноническое расслоение тривиально. Для отсюда следует, что гладкая кубическая кривая на плоскости является эллиптической кривой, для отсюда следует наличие нигде не зануляющейся голоморфной 2-формы на поверхности четвёртой степени в проективном пространстве (вообще же отсюда следует, что гладкая гиперповерхность степени в является многообразием Калаби-Яу).
Осталось доказать односвязность квартики. Для этого рассмотрим вложение по линейной системе , относительно которого гиперплоские сечения высекают на образе ровно нулевые уровни однородных полиномов степени четыре (тем самым наша квартика есть подходящее гиперплоское сечение образа при таком вложении). По теореме Лефшеца о гиперплоском сечении оно устанавливает изоморфизм фундаментальных групп , а фундаментальная группа комплексного проективного пространства, как известно, тривиальна. Таким образом, гладкая квартика ещё и односвязна, и, стало быть, является K3-поверхностью.
В вышеизложенном единственное принципиальное свойство — наличие у расслоения, двойственного к каноническому, сечения, нулевой уровень которого — гладкая поверхность. Тем же свойством обладает любое трёхмерное многообразие Фано, например . В данном случае антиканоническое расслоение ограничивается на каждый из сомножителей как его собственное антиканоническое расслоение, то есть , так что всякий антиканонический дивизор пересекает каждую из таких «координатных осей» в двух точках. Таким образом, такая K3-поверхность будет обладать тремя инволюциями: переставляющими точки пересечения с первым, вторым и третьим сомножителем. Аналогичная пара инволюций также имеется на кривой в , пересекающей оба сомножителя по два раза. Как известно, биголоморфно квадрике в , а такая кривая будет лежащей на квадрике эллиптической кривой. Эти две инволюции в данном случае будут порождать действие группы , свободного произведения, изоморфного бесконечной группе диэдра. Таким образом, либо орбиты этого действия на эллиптической кривой плотны, либо же это действие пропускается через конечный фактор (то есть какую-то группу диэдра конечного порядка), и все его орбиты конечны. Это утверждение имеет инкарнацию в элементарной геометрии, известную как поризм Понселе. В случае K3-поверхности три инволюции порождают действие куда более сложного тройного свободного произведения , интересное с точки зрения голоморфной динамики.
Риччи-плоская метрика и куммеровы K3-поверхности
left|175px|thumb|Эрнст Куммер
Все K3-поверхности кэлеровы (это доказал Сиу). Поскольку на них имеется нигде не зануляющаяся голоморфная форма старшей степени, к ним применима теорема Калаби — Яу, то есть для каждого класса , представляемого как симплектическая форма кэлеровой метрики , существует метрика нулевой кривизны Риччи в данном классе. Вместе с тем, эту метрику невозможно написать явно: теорема Калаби — Яу есть лишь теорема о существовании, но ни в коей мере не явная конструкция.
Единственный случай, когда существует хоть какое-то приближение — это случай так называемых куммеровых поверхностей. Пусть — комплексный тор, то есть фактор , где — решётка ранга четыре. Рассмотрим фактормногообразие . Стандартная голоморфная 2-форма на (спускающаяся с ) инвариантна относительно умножения на , стало быть, она спускается на неособый локус в факторе. Особенности же имеют вид ; раздутие в такой особенности локально есть кокасательное расслоение к , и стандартная голоморфная 2-форма продолжается в такое раздутие. Особенности это в точности точки 2-кручения на четырёхмерном торе, их штук. Итак, раздувая эти квадратичных особенностей, можно получить поверхность с тривиальным каноническим классом. Легко видеть, что она односвязна. Такая K3-поверхность называется куммеровой K3-поверхностью, связанной с комплексным тором . В отличие от предыдущих примеров, такая поверхность может быть уже не вкладываться в проективное пространство, если не был проективным изначальный тор .
Риччи-плоская метрика на тотальном пространстве голоморфного кокасательного расслоения к достаточно хорошо известна: это метрика Калаби — Эгучи — Хансона. Сложный аналитический вопрос состоит в том, как склеить её с плоской метрикой на гладкой части фактора тора при вдувании новых рациональных кривых. Для этого обе метрики необходимо менять глобально. Этот вопрос изучал Дональдсон.S. K. Donaldson. Calabi-Yau metrics on Kummer surfaces as a model gluing problem, July 27, 2010 В его оптике он связан с вопросами о конструкциях многообразий со специальными голономиями (такими как G2-многообразия), которые, в отличие от K3-поверхностей, не имеют алгебраико-геометрического описания.
Топология K3-поверхностей 175px|thumb|Келер Топология куммеровых K3-поверхностей особенно понятна. Так, её второе число Бетти равняется : происходят с изначального четырёхмерного тора, а — из шестнадцати вдуваемых кривых. Стало быть, эйлерова характеристика у них равна .
Оказывается, то же самое верно и для любой другой K3-поверхности: все K3-поверхности диффеоморфны. Более того, они, что называется, деформационно эквивалентны: любые две комплексные структуры K3-поверхности можно связать непрерывным путём в пространстве всех комплексных структур. Решётка с её родной формой пересечения изоморфна , где — решётка E8, а — стандартная гиперболическая решётка. В частности, сигнатура решётки вторых когомологий равняется .
Поскольку все K3-поверхности кэлеровы, имеет смысл говорить об их числах Ходжа: у всех K3-поверхностей они равны , . Отсюда при помощи теоремы Ходжа об индексе легко вывести утверждение о сигнатуре.
Эллиптические K3-поверхности left|175px|thumb|Кодаира Весьма примечательна геометрия K3-поверхностей, на которых имеется эллиптическая кривая. Именно, пусть — K3-поверхность, и — эллиптическая кривая. Из формулы присоединения (см. выше) мы знаем, что . Но каноническое расслоение и у K3-поверхности, и у эллиптической кривой тривиально. Стало быть, и нормальное расслоение эллиптической кривой тривиально. Это означает, что эллиптическая кривая на K3-поверхности допускает семейство деформаций, которые не пересекают эту кривую (и друг друга). Эти деформации (включая и вырождающиеся) будут параметризовываться рациональной кривой, то есть одна эллиптическая кривая на K3-поверхности определяет отображение , слои которого суть и её деформации. Это семейство называется пучком Лефшеца или эллиптическим расслоением. Сама такая K3-поверхность называется эллиптической K3-поверхностью.
У эллиптического расслоения на K3-поверхности всегда имеются особые слои (поскольку эйлерова характеристика K3-поверхности равна , а у эллиптической кривой она нулевая). Если все слои наиболее возможно простые — то есть просто декартовы листы, имеющие эйлерову характеристику , то особых слоёв должно быть (вообще говоря, их будет меньше). На базе вне точек, слои над которыми особы имеется плоская связность, называемая связностью Лиувилля — Арнольда. Монодромия такой связности лежит в группе . Рассмотрим группу , получающаюся как прообраз в универсальном накрытии . Это центральное расширение при помощи . Обозначим образующую этой циклической подгруппы за . Оказывается, существует гомоморфизм такой, что . Аналог теоремы Гаусса — Бонне, доказанная Концевичем и Сойбельманом, утверждает, что если на поверхности с проколами имеется плоская связность с монодромией , то имеет место равенство , где — монодромия вокруг прокола . В частности, если все равны единице, получаем всё те же двадцать четыре прокола.Maxim Kontsevich, Yan Soibelman. Affine structures and non-archimedean analytic spaces, Submitted on 28 Jun 2004
Теорема Торелли Если имеется голоморфное семейство K3-поверхностей над единичным диском, расслоение их вторых когомологий тривиализуется связностью Гаусса — Манина. Вместе с тем, как вариация структур Ходжа, оно уже не будет тривиальным (если не было тривиальным само семейство).
Структура Ходжа типа той, что на вторых когомологиях K3, однозначно определяется прямой , порождённой классом голоморфной 2-формы . Поскольку есть форма объёма риччи-плоской метрики, а умножается на себя нулём, эта прямая изотропна относительно формы пересечения. Таким образом, она может лежать только на некоторой гладкой квадрике в . Условие же выделяет на этой квадрике некоторое открытое подмножество. Его можно описать следующим образом как однородное пространство.
Рассмотрим двумерное пространство . Оно инвариантно относительно комплексного сопряжения, и потому является комплексификацией некоторого двумерного вещественного подпространства . Зададим на нём вещественный оператор как умножение на вдоль и на вдоль . На вещественной плоскости этот оператор действует как поворот на и тем самым определяет ориентацию. Из соотношения следует, что форма пересечения на этой плоскости положительно определена. Обратно, если имеется такая плоскость, то в комплексификации имеется ровно две изотропные прямые, и выбор только одной из них даёт необходимую ориентацию. Таким образом, искомое открытое подмножество в квадрике — это то же самое, что множество ориентированных двумерных плоскостей с положительно определённым скалярным произведением в пространстве сигнатуры . Группа изометрий такого пространства действует на таких плоскостях транзитивно со стабилизатором . Итак, этот фактор называется пространством периодов. Это, как видно из описания как открытого подмножества в квадрике, комплексное многообразие (это же можно увидеть и из вещественного описания, отождествляя ориентированную двумерную плоскость с плоскостью Аргана, то есть попросту комплексными числами — эквивалентность этих описаний есть несложное упражнение). С каждым семейством K3-поверхностей над диском связано голоморфное отображение из диска в это пространство периодов, называемое отображением периодов. Локальная теорема Торелли утверждает, что семейство K3-поверхностей над небольшим диском однозначно восстанавливается по своему отображению периодов.