Двадцатиугольник — это многоугольник с двадцатью сторонами и двадцатью углами. Сумма внутренних углов любого двадцатиугольника составляет 3240 градусов.

Правильный двадцатиугольник Правильный двадцатиугольник имеет символ Шлефли , и может быть построен как усечённый десятиугольник, , или дважды усечённый пятиугольник, .

Каждый из внутренних углов в правильном двадцатиугольнике равен , а это значит, что каждый из внешних углов равен .

Площадь правильного двадцатиугольника с длиной стороны равна

Площадь многоугольника, выраженная через радиус его описанной окружности равна

Поскольку площадь круга равна правильный двадцатиугольник заполняет примерно своей описанной окружности.

Построение Так как , правильный двадцатиугольник можно построить при помощи циркуля и линейки, или при помощи разбиения сторон правильного десятиугольника, или двойного разбиения сторон правильного пятиугольника.

Золотое сечение в правильном двадцатиугольнике

При построении с заданной длиной стороны, дуга окружности с центром и радиусом , разделяет сегмент в отношении, равном золотому сечению.

Симметрия

Симметрии правильного двадцатиугольника образуют диэдральную группу . В ней можно выделить пять подгрупп диэдральных симметрий ( и ), и шесть циклических подгрупп ( и ). Все различные подгруппы симметрий правильного двадцатиугольника могут быть графически отображены диаграммой из элементов.

В данной диаграмме, предложенной Джоном Конвеем, каждая подгруппа симметрии обозначена буквой и собственным порядком.John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, (2008) The Symmetries of Things, (Chapter 20, Generalized Schaefli symbols, Types of symmetry of a polygon pp. 275—278) Вся группа симметрий названа , а тривиальная подгруппа, соответствующая полному отсутствию симметрии, обозначена как . Диэдрические группы симметрии делятся на те, оси симметрий которых проходят только через вершины ( — diagonal), только через рёбра ( — perpendicular) или через и то, и другое (такая подгруппа обозначена буквой ). Циклические симметрии обозначены буквой () и своим порядком.

Группа симметрий любого неправильного двадцатиугольника образует подгруппу . Среди них наиболее симметричными являются фигуры, соответствующие симметриям (изогональный двадцатиугольник, построенный при помощи десяти зеркал с чередованием длинных и коротких рёбер) и (изотоксальный двадцатиугольник, в котором все стороны равны между собой, но внутренние углы при вершинах чередуются). Эти две формы друг другу и каждая из них обладает половиной симметрий правильного двадцатиугольника.

Разбиения + Двадцатиугольник, разбитый на 180 ромбовПравильное разбиениеИзотоксальное разбиение

По Коксетеру, любой зоногон (-угольник, у которого противоположные стороны равны и параллельны друг другу) может быть разбит на параллелограммовКоксетер, Mathematical recreations and Essays, Thirteenth edition, p.141. В частности, это так для всех правильных многоугольников с чётным числом сторон — в этом случае все параллелограммы являются ромбами. Для двадцатиугольника , а значит, его можно разбить на параллелограммов: квадратов и набора ромбов — по в каждом. Это разбиение основано на проекции Декеракта в виде многоугольника Петри с гранями из . Согласно данным из последовательности , количество всевозможных описанных разбиений -угольника равно , если зеркальные и повёрнутые копии разбиения считать различными. + Изображение декеракта и примеры разбиения 20-угольника на 45 ромбовДекеракт

Связанные многоугольники Икосаграмма — звёздчатый многоугольник с двадцатью сторонами, имеющий символ Шлефли . Есть три правильных икосаграммы с символами Шлефли , и . Есть также ещё 5 звёздчатых многоугольников с тем же относительным расположением вершин: , , , , и . n12345ФормаВыпуклый многоугольникСоставнойЗвёздчатый многоугольникСоставнойФото Внутренний угол n678910ФормаСоставнойЗвёздчатый многоугольникСоставнойЗвёздчатый многоугольникСоставнойФото Внутренний угол

Более глубокие усечения правильного десятиугольника и декаграммы могут привести к изогональным (вершинно-транзитивным) промежуточным формам икосаграмм с одинаково расположенными вершинами и двумя длинами ребер.The Lighter Side of Mathematics: Proceedings of the Eugène Strens Memorial Conference on Recreational Mathematics and its History, (1994), Metamorphoses of polygons, Branko Grünbaum

Правильную икосаграмму {20/9} можно рассматривать как квазиусеченный десятиугольник, t{10/9}={20/9}. Аналогично декаграмма {10/3} имеет квазиусечение t{10/7}={20/7}, и, наконец, простое усечение декаграммы дает t{10/3}={20/3}.

+ Икосаграммы, как усечения правильных десятиугольников и декаграмм, {10}, {10/3}.КвазирегулярныйКвазирегулярныйt{10}={20}t{10/9}={20/9}t{10/3}={20/3}t{10/7}={20/7}

Многоугольники Петри Правильный двадцатиугольник является многоугольником Петри для ряда политопов, что показано в ортогональных проекциях на :

A19B10D11E8H4½2H22H219-симплексДекеракт11-полукуб(421)Шестисотячейник10-10 10-10 дуопризма Он также является многоугольником Петри для , , и .

Примечания

Категория:Многоугольники