В математике, топологическая K-теория является подразделом алгебраической топологии. В начале своего существования она применялась для изучения векторных расслоений на топологических пространствах с помощью идей, признанных в настоящее время частью (общей) K-теории, введенной Александром Гротендиком . Ранние работы по топологической K-теории принадлежат Майклу Атья и Фридриху Хирцебруху.
Определения Пусть — компактное хаусдорфово пространство и или . Тогда определяется как группа Гротендика коммутативного моноида конечномерных -векторных расслоений над с суммой Уитни. Тензорное произведение расслоений задаёт на K-теории структуру коммутативного кольца. Без индекса, обычно обозначает комплексную -теорию, тогда как вещественная -теория иногда обозначается как . Далее мы рассматриваем комплексную -теорию.
В качестве начального примера заметим, что -теорией точки являются целые числа. Это связано с тем, что все векторные расслоения над точкой тривиальны и поэтому классифицируются своим рангом, а группа Гротендика натуральных чисел это целые числа.
Существует редуцированная версия теории, ,которая определяется для — компактных пространств с выделенной точкой (ср. приведенные гомологии ). Приведенную теорию можно интуитивно рассматривать как по модулю тривиальных расслоений. Она определяется как группа классов стабильной эквивалентности расслоений. Два расслоения и называются стабильно изоморфными, если существуют тривиальные расслоения и , такие что , Это отношение эквивалентности задает структуру группы на множестве векторных расслоений, поскольку каждое векторное расслоение может быть дополнено до тривиального расслоения путем суммирования с его ортогональным дополнением. С другой стороны , можно определить как ядро отображения индуцируемого вложением базовой точки в .
-теория является мультипликативной (обобщенной) когомологической теорией. Короткая точная последовательность пространств с выделенной точкой
Продолжается до длинной точной последовательности
Пусть будет -ой приведенной надстройкой пространства. Тогда определим:
Отрицательные индексы выбираются таким образом, чтобы кограничное отображение увеличивало размерность.
Часто имеет смысл рассматривать нередуцированную версию этих групп, определенную как:
Где это с отдельной выделенной точкой, помеченной знаком «+».
Наконец, теорема Ботта о периодичности, сформулированная ниже, даёт нам теории с положительными индексами.
Свойства
и, соответственно являются контравариантными функторами из гомотопической категории пространств (с выделенной точкой) в категорию коммутативных колец. Следовательно, например, -теория над стягиваемыми пространствами это
Спектром -теории является (с дискретной топологией на ), т.е. где обозначает классы отображений помеченных пространств с точностью до гомотопии, а - копредел классифицирующих пространств унитарных групп: Аналогично,
Для вещественной теории используется пространство .
Аналогом операций Стинрода в -теории являются операции Адамса . Их можно использовать для определения характеристических классов в топологической -теории.
Принцип расщепления в топологической -теории позволяет свести утверждения о произвольных векторных расслоениях к утверждениям о суммах одномерных расслоений.
Изоморфизм Тома в топологической теории это:
где - пространство Тома векторного расслоения над . Это выполняется когда является спинарным расслоением.
Спектральная последовательность Атьи-Хирцебруха позволяет вычислять -группы из обычных групп когомологий.
Топологическую -теория можно обобщить до функтора на C*-алгебрах.
Периодичность Ботта Периодичность, названную в честь Рауля Ботта, можно сформулировать так:
и , где H - класс тавтологического расслоения на то есть на сфере Римана.
В вещественной теории существует похожая периодичность, только по модулю 8.
Приложения Два самых известных применения топологической -теории принадлежат Фрэнку Адамсу . Сначала он решил задачу о единичном инварианте Хопфа, сделав вычисления с помощью операций Адамса . Затем он доказал верхнюю оценку числа линейно независимых векторных полей на сферах.
Характер Чженя Майкл Атья и Фридрих Хирцебрух доказали теорему, которая связывает топологическую K-теорию CW-комплекса с его рациональными когомологиями. В частности, они показали, что существует гомоморфизм
такой, что
Существует алгебраический аналог, связывающий группу Гротендика когерентных пучков и кольцо Чоу гладкого проективного многообразия .
См. также
Теорема Атьи-Зингера об индексе
Ссылки
Литература
Категория:К-теория