Линейная алгебраическая группа — это подгруппа группы обратимых матриц (по умножению), которые определены полиномиальными уравнениями. Примером является ортогональная группа, определённая отношением , где является транспонированной матрицей M.

Многие группы Ли можно рассматривать как линейные алгебраические группы над полем вещественных или комплексных чисел. (Например, любая может рассматриваться как линейная алгебраическая группа над , как и многие некомпактные группы, такие как простая группа Ли .) Простые группы Ли классифицировали Вильгельм Киллинг и Эли Жозеф Картан в 1880-х и 1890-х годах. В то время не придавали значения факту, что структура группы может быть определена многочленом, то есть, что это алгебраические группы. Основателями теории алгебраических групп были , Клод Шевалле и Колчин. В 1950-х годах Борель построил бо́льшую часть теории алгебраических групп в современном виде.

Одним из первых использований теории стало определение группы лиева типа.

Примеры Для натурального n полная линейная группа GL(n) над полем k, состоящая из всех обратимых матриц, является линейной алгебраической группой над k. Она содержит подгруппы: , состоящие из матриц вида и . Группа называется мультипликативной группой. То есть группа является группой k* ненулевых элементов поля k по умножению. Аддитивная группа , с (по сложению), может быть выражена как группа матриц, например как подгруппа U в GL(2):

Эти два основных примера коммутативных линейных алгебраических групп, мультипликативных и аддитивных, ведут себя очень различно в терминах их линейных представлений (как алгебраические группы). Любое представление мультипликативной группы является прямой суммой неприводимых представлений. (Все их неприводимые представления имеют размерность 1 и имеют вид для целого n.) В отличие от мультипликативной группы единственным неприводимым представлением аддитивной группы является тривиальное представление. Так что любое представление (такое как 2-мерное представление выше) является итерированным тривиальных представлений, не прямой суммой (если представление не тривиально). Структурная теория линейных алгебраических групп анализирует любую линейную алгебраическую группу в терминах этих двух базисных групп и их обобщений, торов и унипотентных групп.

Определения Для алгебраически замкнутого поля k значительная часть структуры алгебраического многообразия X над k закодирована в его множестве X(k), где k- , которое позволяет элементарное определение линейной алгебраической группы. Определим сначала функцию из абстрактной группы GL(n,k) в k как регулярную, если её можно записать как многочлен от элементов матрицы A и от 1/det(A), где det означает определитель. Тогда линейная алгебраическая группа G над алгебраически замкнутым полем k — это подгруппа G(k) абстрактной группы GL(n,k) для некоторого натурального n такая, что G(k) определена путём присвоения к нулю некоторого набора регулярных функций.

Для произвольного поля k алгебраическое многообразие над k определяется как специальный случай схем над k. На этом языке линейная алгебраическая группа G над полем k — это замкнутая схема подгруппы группы GL(n) над k для некоторого натурального n. В частности, G определена путём присвоения нулю некоторому набору регулярных функций в GL(n) над k и эти функции должны иметь свойство, что для любой коммутативной k-алгебры R G(R) является подгруппой абстрактной группы GL(n,R). (Такая алгебраическая группа G над k не просто абстрактная группа G(k), а скорее целое семейство групп G(R) для коммутативных k-алгебр R; это философия описания схемы её .)

На другом языке имеется понятие гомоморфизма линейных алгебраических групп. Например, если k алгебраически замкнуто, гомоморфизм из в является гомоморфизмом абстрактных групп , который определяется регулярными функциями на G. Это переводит линейные алгебраические группы над k в категорию. В частности, это определяет, что означает для двух линейных алгебраических групп быть изоморфными.

На языке схем линейная алгебраическая группа G над полем k является, в частности, над k, означая схему над k вместе с k-точкой и морфизмами

над k, которые удовлетворяют обычным аксиомам умножения (ассоциативность, тождественность, обратимость). Линейная алгебраическая группа является также гладкой и конечной над k и она является аффинной (как схема). Обратно, любая аффинная групповая схема G конечного типа над полем k имеет точное представление в GL(n) над k для некоторого n. Примером служит вложение аддитивной группы в GL(2) как упоминалось выше. Как результат, можно рассматривать линейные алгебраические группы либо как группы матриц, либо более абстрактно, как гладкие аффинные групповые схемы над полем. (Некоторые авторы используют термин «линейная алгебраическая группа» для любой аффинной групповой схемы конечного типа над полем.)

Для полного понимания линейных алгебраических групп можно рассмотреть более общие (негладкие) групповые схемы. Например, пусть k будет алгебраически замкнутым полем характеристики p > 0. Тогда гомоморфизм , определённый выражением порождает изоморфизм абстрактных групп , но f не является изоморфизмом алгебраических групп (поскольку не является регулярной функцией). На языке схем групп ясна причина, почему f не является изоморфизмом — f сюръективна, но имеет нетривиальное ядро, а именно, групповую схему корней p-ой степени от единицы. Эта проблема не возникает при характеристике нуль. Более того, любая групповая схема конечного типа над полем k характеристики нуль гладка над k. Групповая схема конечного типа над любым полем k гладка над k тогда и только тогда, когда она геометрически приведена, что означает, что является приведённой, где является алгебраическим замыканием поля k.

Поскольку аффинная схема X определяется её кольцом O(X) регулярных функций, схема аффинной группы G над полем k определена кольцом O(G) с его структурой алгебры Хопфа (возникающей из умножения и обратных отображений на G). Это даёт эквивалентность категорий (обращённые стрелки) между групповыми схемами над k и коммутативными алгебрами Хопфа над k. Например, алгебра Хопфа, соответствующая мультипликативной группе , является кольцом многочленов Лорана с коумножением, заданным выражением

Основные понятия Для линейной алгебраической группы G над полем k Go (связная компонента, содержащая точку 1) является нормальной подгруппой с конечным индексом. Таким образом, есть расширение группы

где F является конечной алгебраической группой. (Для алгебраически замкнутого k F может быть идентифицирован абстрактной конечной группой.) Ввиду этого изучение алгебраических групп большей частью фокусируется на связные группы.

Различные понятия из абстрактной теории групп могут быть распространены на линейные алгебраические группы. Достаточно просто определить, что означает для линейной алгебраической группы быть коммутативной, нильпотентной или разрешимой по аналогии с определениями в абстрактной теории групп. Например, линейная алгебраическая группа разрешима, если она имеет линейных алгебраических подгрупп таких, что факторгруппы коммутативны. Также нормализатор, центр и централизатор замкнутой подгруппы H линейной алгебраической группы G естественным образом понимается как замкнутая групповая подсхема группы G. Если они гладки над k, то они являются линейными алгебраическими группами как определено выше.

Можно задать вопрос, насколько свойства связной линейной алгебраической группы G над полем k определяются абстрактной группой G(k). Полезным результатом в этом направлении является то, что если поле k совершенно (например, характеристики нуль), или если группа G редуктивна (как определено ниже), то G над k. Поэтому если вдобавок k бесконечно, группа G(k) плотна по Зариски в G. Например, при приведённых предположениях, G коммутативна, нильпотентна или разрешима тогда и только тогда, когда G(k) имеет соответствующее свойство.

Предположение связности не может быть опущено в этих результатах. Например, положим, что G является группой кубических корней единицы над рациональными числами . Тогда G является линейной алгебраической группой над , для которой не плотная по Зариски в G, поскольку является группой порядка 3.

Над алгебраически замкнутым полем, имеется более строгий результат об алгебраических группах как алгебраических многообразиях — любая линейная алгебраическая группа над алгебраически замкнутым полем является .

Алгебра Ли алгебраической группы Алгебра Ли алгебраической группы G может быть определена несколькими эквивалентными способами — как касательное пространство к нейтральному элементу или как пространство левоинвариантных дифференциалов. Если k алгебраически замкнуто, дифференциал над k координатного кольца группы G является левоинвариантным, если

для любого x из G(k), где порождено левым умножением на x. Для произвольного поля k левоинвариантный дифференциал определяется как аналог равенства двух линейных отображений . Скобка Ли двух дифференциалов определяется как .

Переход от G к является процессом дифференцирования. Для элемента производная в отображения сопряжения есть автоморфизм , дающий присоединённое представление:

Над полем характеристики ноль связная подгруппа H линейной алгебраической группы G единственным образом определяется её алгеброй Ли . Однако не любая подалгебра Ли соответствует алгебраической подгруппе G, как можно видеть из примера тора над . В положительной характеристике может быть много различных связных подгрупп группы G с той же алгеброй Ли (снова, тор даёт пример). По этой причине, хотя алгебра Ли алгебраической группы важна, структурная теория алгебраических групп требует более глобальных средств.

Полупростые и унипотентные элементы

Для алгебраически замкнутого поля k матрица g из GL(n,k) называется полупростой, если она диагонализируема, и унипотентна, если матрица g − 1 нильпотентна. Эквивалентно, g унипотентна, если все собственные значения g равны 1. Из жордановой нормальной формы для матриц следует, что любой элемент g группы GL(n,k) может быть записан единственным образом как произведение , такое что полупроста, унипотентна, а кроме того, и друг с другом.

Говорят для любого поля k, что элемент g группы GL(n,k) полупрост, если он становится диагонализируемым над алгебраическим замыканием поля k. Если поле k совершенно, то полупростые и унипотентные части элемента g также лежат в . Наконец, для любой линейной алгебраической группы над полем k определим k-точку группы G как полупростую или унипотентную, если она полупроста или унипотентна в . (Эти свойства, фактически, независимы от выбора точного представления G.) Если поле k совершенно, то полупростые и унипотентные части k-точки группы G автоматически лежат в G. То есть (разложение Жордана) любой элемент g группы G(k) может быть единственным образом записан как произведение в G(k) так, что элемент полупрост, унипотентен, а кроме того, и коммутируют. Это сводит задачу описания классов сопряжённости в G(k) к полупростым и унипотентным случаям.

Торы

Тор над алгебраически замкнутым полем k означает группу, изоморфную , произведению n копий мультипликативной группы над k для некоторого натурального n. Для линейной алгебраической группы G термин максимальный тор в G означает тор в G, не содержащийся ни в каком другом большем торе. Например, группа диагональных матриц в GL(n) над k является максимальным тором в GL(n), изоморфным . Основным результатом теории является то, что любых два максимальных тора в группе G над алгебраически замкнутым полем k сопряжены некоторым элементом из G(k). Термин ранг группы G означает размерность любого максимального тора.

Для произвольного поля k тор T над k означает линейную алгебраическую группу над k, замена базы которой в алгебраическое замыкание поля k изоморфно над для некоторого натурального n. Расщепимый тор над k означает группу, изоморфную над k для некоторого n. Примером нерасщепимого тора над вещественными числами служит