t-критерий Уэлча — тест, основанный на распределении Стьюдента и предназначенный для проверки статистической гипотезы о равенстве математических ожиданий случайных величин, имеющих необязательно равные известные дисперсии. Является модификацией t-критерия Стьюдента. Назван в честь британского статистика Бернарда Льюиса Уэлча.
Предпосылки Для применения двухвыборочного t-критерия Стьюдента необходимо, чтобы истинные дисперсии были равны. В случае t-критерия Уэлча истинные дисперсии уже могут быть не равны, но предпосылка о нормальном распределении средних сохраняется.
Вычисление статистики Пусть даны две независимые выборки нормально распределённых случайных величин:
Проверяем следующую нулевую гипотезу о равенстве математический ожиданий:
Пусть нулевая гипотеза верна. Тогда и . Пусть и — несмещенные оценки дисперсий и соответственно. Рассчитаем следующую статистику:
Сделаем следующее преобразование:
Распределение первой статистики является стандартным нормальным распределением:
Рассмотрим вторую статистику и для дальнейших вычислений назовем её :
Статистика напоминает случайную величину с распределением хи-квадрат, поделенную на степень свободы, но таковой не является. Пусть является случайной величиной с распределением хи-квадрат с степенями свободы. Тогда , равно как и . Теперь заметим, что (так как мы используем несмещенные оценки дисперсий), а .
Раз мы хотим, чтобы была максимально похожа на , то приравняем дисперсии данных случайных величин:
Рассчитаем дисперсию случайной величины :
Отсюда:
В конечном итоге имеем при справедливости нулевой гипотезы:
,
где находится как:
При достаточно больших объёмах выборок мы можем воспользоваться нормальной аппроксимацией:
Двухвыборочный t-критерий Уэлча для независимых выборок Пусть даны две независимые выборки нормально распределённых случайных величин:
При нулевой гипотезе мы рассчитываем следующую статистику:
Пусть альтернативная гипотеза .
При справедливости нулевой гипотезы распределение будет приблизительно являться распределением Стьюдента с степенями свободы:
,
где находится как:
Следовательно, при превышении значения наблюдаемой статистики по абсолютной величине критического значения данного распределения (при заданном уровне значимости) нулевая гипотеза отвергается.
Пример В следующих примерах будем сравнивать t-критерий Стьюдента и t-критерий Уэлча. Выборки сгенерированы модулем numpy.random для языка программирования Python.
Для всех трех примеров математические ожидания будут равны и соответственно.
В первом примере истинные дисперсии равны () и объёмы выборок равны (). Обозначим за и как соответствующие случайные выборки:
Во втором примере истинные дисперсии неравны (, ) и неравные объёмы у выборок (,). У меньшей выборки большая дисперсия:
В третьем примере истинные дисперсии неравны (, ) и неравные объёмы у выборок (,). У большей выборки большая дисперсия:
Выборка Выборка t-критерий Стьюдента t-критерий Уэлча Пример -value -value -value -value 1 15 20.29 4.61 15 22.67 4.35 -3.07 28 0.005 0.005 −3.07 28.0 0.005 0.004 2 10 21.10 21.01 20 22.22 1.04 −1.06 28 0.299 0.465 −0.76 9.57 0.464 0.459 3 10 20.27 1.31 20 22.89 16.69 −1.97 28 0.059 0.015 −2.66 23.28 0.014 0.018
Для равных дисперсий и равных объёмов выборок t-критерий Стьюдента и t-критерий Уэлча выдали примерно одинаковый результат (пример 1). Для неравных дисперсий t-критерий Уэлча точнее оценивает истинное распределение статистики, чем t-критерий Стьюдента (-value для t-критерия Уэлча ближе к моделированной -value, чем для t-критерия Стьюдента).
Если неизвестно, равны ли дисперсии двух генеральных совокупностей, крайне не рекомендуется проводить пре-тесты для определения равенства дисперсий, а лучше сразу использовать t-критерий Уэлча.
Реализация в различных ПО Язык программирования / ПО Функция Примечание LibreOffice TTEST(Data1; Data2; Mode; Type) Подробнее MATLAB ttest2(data1, data2, 'Vartype', 'unequal') Подробнее Microsoft Excel до 2010 TTEST(array1, array2, tails, type) Подробнее Microsoft Excel 2010 and позднее T.TEST(array1, array2, tails, type) или ТТЕСТ(массив1;массив2;хвосты;тип) ПодробнееТТЕСТ (функция ТТЕСТ) - Служба поддержки Office Python scipy.stats.ttest_ind(a, b, equal_var=False) Подробнее R t.test(data1, data2, alternative="two.sided", var.equal=FALSE) Подробнее Haskell Statistics.Test.StudentT.welchTTest SamplesDiffer data1 data2 Подробнее Julia UnequalVarianceTTest(data1, data2) ПодробнееStatattest varname1 == varname2, welchПодробнееGoogle SheetsTTEST(range1, range2, tails, type)Подробнее
Литература B. L. Welch The Generalization of `Student’s' Problem when Several Different Population Variances are Involved // Vol. 34, No. 1/2 (Jan., 1947), pp. 28-35
Примечания
Категория:Статистические критерии