-алгебра — банахова алгебра с инволюцией, удовлетворяющей свойствам сопряжённого оператора.
Впервые были рассмотрены для применения в квантовой механике в качестве алгебр физически наблюдаемых объектов. Это направление исследований началось с матричной квантовой механики Вернера Гейзенберга и в более математически развитой форме с работ Паскуаля Йордана около 1933 года. Впоследствии Джон фон Нейман попытался установить общую структуру этих алгебр, создав серию работ о кольцах операторов. В этих работах рассматривался особый класс -алгебр, впоследствии ставший известным как алгебры фон Неймана. В 1943 году Израиль Гельфанд и Марк Наймарк, используя понятие вполне регулярных колец, дали общее определение -алгебрI. Gelfand, M. Neumark. On the imbedding of normed rings into the ring of operators in Hilbert space, Матем. сб., 12(54):2 (1943), 197—217, с того момента -алгебры нашли широкое применение в алгебраических формулировках квантовой механики. Другой активной областью исследований стала классификация или определение степени возможной классификации для сепарабельных простых ядерных -алгебр.
Определения -алгебра определяетсяДанное определение впервые приведено в статье I. Gelfand, M. Neumark. On the imbedding of normed rings into the ring of operators in Hilbert space, Матем. сб., 12(54):2 (1943), 197—217. как банахова алгебра над полем комплексных чисел, для каждого элемента которой которой определено отображение со следующими свойствами: инволютивность: , согласованность со сложением: , согласованность с умножением: , для всякого выполнено , выполнено так называемое -тождество: Замечания Все эти свойства без -тождества определяют -алгебру (то есть -алгебра — это -алгебра с -тождеством). -тождество эквивалентно формуле: .
-тождество является весьма сильным требованием, например, вместе с формулой спектрального радиуса из него следует, что -норма однозначно определяется алгебраической структурой: .
Ограниченный оператор между -алгебрами и называется -гомоморфизмом, если для всех и из выполняется:
и для всех из выполняется: .
В случае -алгебр, любой -гомоморфизм между -алгебрами является сжимающим, то есть ограниченным нормой . Кроме того, инъективный -гомоморфизм между -алгебрами является изометрическим. Эти свойства являются следствиями -тождества.
Биективный -гомоморфизм называется -изоморфизмом, и в этом случае и называются изоморфными.
Примеры
Частным случаем -алгебры является комплексная алгебра над полем линейных непрерывных операторов на комплексном гильбертовом пространстве с двумя дополнительными свойствами: является топологически замкнутым множеством в топологии операторной нормы, замкнуто относительно операции взятия сопряжений операторов.
Другой важный класс негильбертовых -алгебр составляют алгебры непрерывных функций на пространстве .
Примечания
Ссылки
Категория:C*-алгебры Категория:Функциональный анализ