Ортополюс системы, состоящей из треугольника ABC и прямой линии ℓ (на рис. справа этой прямой ℓ соответствует прямая ) в данной плоскости, является точкой, определяемой следующим образом.. Пусть — основания перпендикуляров, проведенных к прямой ℓ из вершин треугольника соответственно . Пусть — основания перпендикуляров, проведенных к соответствующим противоположным сторонам указанного треугольника или к продолжениям этих сторон. Тогда три прямые линии пересекутся в одной точке — в ортополюсе H. Благодаря своим многочисленным свойствам ортополюсы стали предметом серьезного изучения "The Orthopole Loci of Some One-Parameter Systems of Lines Referred to a Fixed Triangle" Author(s): O. J. Ramler The American Mathematical Monthly, Vol. 37, No. 3 (Mar., 1930), pp. 130–136 Published by: Mathematical Association of America Stable URL: https://www.jstor.org/stable/2299415 . Изучались некоторые ключевые понятия — определение линий, имеющих данный ортополюс "The Projective Theory of Orthopoles", Sister Mary Cordia Karl, The American Mathematical Monthly, Vol. 39, No. 6 (June–July, 1932), pp. 327–338 Published by: Mathematical Association of America Stable URL: https://www.jstor.org/stable/2300757 и ортополюсные окружности.
Свойства Замечание Везде ниже в тексте ортополюсу P соответствует ортополюс H на рис. справа, а прямой ℓ ортополюса P на том же рис. соответствует прямая . Ортополюс и ортоцентр Если проходит через ортоцентр Q треугольника, то точка, расположенная на продолжении отрезка PQ, соединяющего ортополюс с ортоцентром, по другую сторону на расстоянии, равном PQ, лежит на окружности Эйлера этого треугольника.College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle. Nathan Altshiller-Court. Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. - §G. The Orthopole. §699. Theorem. Fig. 156. P. 290-291. Ортоцентр Q треугольника является ортополюсом его сторон относительно самого треугольника.College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle. Nathan Altshiller-Court. Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. - §G. The Orthopole. §Exercises. §1. P. 291.
Ортополюс как радикальный центр Ортополюс P прямой линии ℓ треугольника является радикальным центром трех окружностей, которые касаются прямой линии ℓ и имеют центры в вершинах антидополнительного треугольника по отношению к данному треугольнику.College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle. Nathan Altshiller-Court. Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. - §G. The Orthopole. §Exercises. §6. P. 291.
Ортополюс и описанная окружность Если прямая ℓ ортополюса проходит через центр описанной окружности треугольника, то сам ортополюс лежит на окружности Эйлера этого треугольника. College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle. Nathan Altshiller-Court. Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. - §G. The Orthopole, §694, Fig. 155, p. 288. Из последнего свойства следует, что для данного треугольника геометрическим местом точек - всех ортополюсов P всех прямых ℓ, проходящих через центр описанной окружности треугольника, является окружность Эйлера этого треугольника. Если прямая ℓ ортополюса пересекает описанную окружность треугольника в двух точках P и Q, то сам ортополюс лежит на пересечении двух прямых Симсона двух последних точек P и Q.College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle. Nathan Altshiller-Court. Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. - §G. The Orthopole, §697. Theorem, Fig. 155, p. 289-290. Для данного треугольника геометрическим местом точек - всех ортополюсов P всех прямых ℓ, проходящих через фиксированную точку, лежащую на описанной окружности треугольника, является прямая (отрезок).
Ортополюс и прямая Симсона Если ортополюс лежит на прямой Симсона, то его линия ℓ перпендикулярна ей. Если прямая ℓ ортополюса является прямой Симсона точки P, то точка P называется полюсом прямой Симсона ℓ
Ортополюсы параллельных прямых Если прямая ℓ ортополюса перемещается параллельно самой себе, то ее ортополюс смещается вдоль линии, перпендикулярной ℓ, на расстояние, равное перемещению. Ортополюсы двух параллельных прямых лежат на общем для них перпендикуляре к двум прямым на расстоянии, равном расстоянию между прямыми.College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle. Nathan Altshiller-Court. Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. - §G. The Orthopole, §693, Fig. 154, p. 287-288
Ортополюсы троек вершин четырехугольника Если задана фиксированная прямая линия ℓ, и выбрана любая из трех вершин четырехугольника, то все ортополюсы данной прямой линии ℓ относительно всех таких треугольников лежат на одной прямой. Эта линия называется ортополярной линией данной линии ℓ относительно четырехугольника.Steve Phelps. The Orthopole// https://www.geogebra.org/m/CKKH9ZZA Коника (эллипс), порожденная ортополюсами Известно (см. Honsberger, R. Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry. Washington DC, Math. Assoc. Ammer., 1995, pp. 106-110. Lalesco T. La Geometrie du Triangle. Paris, Jacques Gabay, 1987, p. 17.), что нахождение для данного фиксированного треугольника всех ортополюсов для всех прямых , проходящих через неподвижную точку , порождает конику, которая всегда является эллипсом, касательным в 3 точках к дельтоиде Штейнера данного треугольника. Коника вырождается в прямую (отрезок), когда точка находится на описанной окружности треугольника . Эта коника обобщает свойство, обсуждаемое в статье Orthopole// http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/eGallery/problems/Orthopole.html , согласно которому для точки , совпадающей с центром описанной окружности треугольника, коника становится окружностью Эйлера "5. Conic generated by orthopoles" In: Orthopole of a chord// http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/eGallery/problems/Orthopole2.html Замечание. В данной статье в параграфе "Ортополюс и описанная окружность" упомянутое выше свойство звучит так: Если прямая ℓ ортополюса проходит через центр описанной окружности треугольника, то сам ортополюс лежит на окружности Эйлера этого треугольника.College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle. Nathan Altshiller-Court. Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. - §G. The Orthopole, §694. Fig. 155, p. 288. Точки Фейербаха , как ортополюсы В англоязычной литературе 4 центра 4 окружностей: 1 вписанной и 3 вневписанных окружностей с центрами соответственно , касающиеся соответственно 3 разных сторон треугольника или их продолжений, - называют 4 трехкасательными центрами треугольника (the tritangent centers) College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle. Nathan Altshiller-Court. Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. - §b. The tritangent centers. P.73-78// https://books.google.ru/books?id=VXDWIOvqeaoC&pg=PA291&lpg=PA291&dq=In+geometry,+the+orthopole&source=bl&ots=doCvrYOPtl&sig=ACfU3U1vm-WH5Tr4sGC9cE52DCRf9qBjcA&hl=ru&sa=X&ved=2ahUKEwjq1ZWdiJDqAhWRrIsKHZF7BsYQ6AEwBnoECAoQAQ#v=onepage&q=In%20geometry%2C%20the%20orthopole&f=false . Это замечание важно для следующего утверждения.
Точки Фейербаха треугольника являются ортополюсами данного треугольника, если в качестве прямых ℓ для этих ортополюсов взяты диаметры описанной окружности, проходящие через соответствующие трехкасательные центры College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle. Nathan Altshiller-Court. Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. - §698. Corollary. P.290// https://books.google.ru/books?id=VXDWIOvqeaoC&pg=PA291&lpg=PA291&dq=In+geometry,+the+orthopole&source=bl&ots=doCvrYOPtl&sig=ACfU3U1vm-WH5Tr4sGC9cE52DCRf9qBjcA&hl=ru&sa=X&ved=2ahUKEwjq1ZWdiJDqAhWRrIsKHZF7BsYQ6AEwBnoECAoQAQ#v=onepage&q=In%20geometry%2C%20the%20orthopole&f=false . Последнее утверждение есть следствие утверждения, указанного ниже.
Точка Фейербаха для данной вписанной или вневписанной окружности (трехкасательная окружность - по-английски "a tritangent circle ") является точкой пересечения 2 прямых Симсона, построенных для концов диаметра описанной окружности, проходящего через соответствующий центр вписанной или вневписанной окружности. Таким образом, точка Фейербаха может быть построена без использования соответствующей вписанной или вневписанной окружности и касающейся ее окружности ЭйлераCollege Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle. Nathan Altshiller-Court. Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. - §648. Remark. P.273// https://books.google.ru/books?id=VXDWIOvqeaoC&pg=PA291&lpg=PA291&dq=In+geometry,+the+orthopole&source=bl&ots=doCvrYOPtl&sig=ACfU3U1vm-WH5Tr4sGC9cE52DCRf9qBjcA&hl=ru&sa=X&ved=2ahUKEwjq1ZWdiJDqAhWRrIsKHZF7BsYQ6AEwBnoECAoQAQ#v=onepage&q=In%20geometry%2C%20the%20orthopole&f=false .
Обобщение Существование ортополюса вытекает из более общей теоремы, так называемой теоремы Штейнера об ортологических треугольниках Мякишев А. Прогулки по окружностям: от Эйлера до Тейлора// Математика. Все для учителя! № 6 (6). июнь. 2011. с. 6, Определение ортопола, рис. 5// https://www.geometry.ru/persons/myakishev/papers/circles.pdf .
Теорема Штейнера об ортологичных треугольниках утверждает (см. Теорема Штейнера об ортологических треугольниках), что, если Δ ABC ортологичен Δ A'B'C' , то это эквивалентно тому, что Δ A'B'C' ортологичен Δ ABC. В случае ортополюса проекции вершин треугольника ABC на прямую линию ℓ — точки A' , B' , C' — можно считать вершинами вырожденного треугольника, а параллельные перпендикуляры — пересекающимися в бесконечно удаленной точке. Треугольники ортологические — треугольники ABC и A1B1C1, для которых перпендикуляры, опущенные из точек A, B и C на прямые B1C1, C1A1 и A1B1 пересекаются в одной точке. В этом случае и перпендикуляры, опущенные из точек A1, B1 и C1 на прямые BC, CA и AB также пересекаются в одной точке.
История Ортополюс был открыт математиком М. Сунсом (M. Soons) в 1886-м году в статье на с. 57 в бельгийском научном журнале по элементарной математике , основанным в 1881 году Полем Мансионом (Paul Mansion) и Жозефом Жаном Батистом Нойбергом (Joseph Jean Baptiste Neuberg), а сам термин ортополюс (orthopole) предложен упомянутым Нойбергом в журнале "Mathesis" за 1911-й год на с. 244 согласно источникамIon Pătrașcu. THE DUAL OF THE ORTHOPOLE THEOREM// https://rxiv.org/pdf/1404.0148v1.pdf ,Nathan Altshiller-Court.College Geometry. An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle. Second Edition. Mineola, New York: Dover Publications, Inc. 2007. P. 306, §692, §694 Замечание Данное в самом начале определение ортополюса в книге Ефремова называется теоремой Сунса . Глава VIII, п. 47, с. 244-245, фиг. 132.
См. также Полюс и поляра Ссылки
Литература Atul Dixit, Darij Grinberg. Orthopoles and the Pappus Theorem// http://forumgeom.fau.edu/FG2004volume4/FG200406.pdf College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle. Nathan Altshiller-Court. Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. - §G. The Orthopole. P.287-291.// https://books.google.ru/books?id=VXDWIOvqeaoC&pg=PA291&lpg=PA291&dq=In+geometry,+the+orthopole&source=bl&ots=doCvrYOPtl&sig=ACfU3U1vm-WH5Tr4sGC9cE52DCRf9qBjcA&hl=ru&sa=X&ved=2ahUKEwjq1ZWdiJDqAhWRrIsKHZF7BsYQ6AEwBnoECAoQAQ#v=onepage&q=In%20geometry%2C%20the%20orthopole&f=false Bogomolny, A. "Orthopole." https://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/Orthopole.shtml. Goormaghtigh R. Analytic Treatment of Some Orthopole Theorems// Amer. Math. Monthly 46. 1939. P. 265-269, Gallatly W. The Modern Geometry of the Triangle, 2nd ed. London: Hodgson, 1913. - Chapter 6. The Orthopole. P. 46-54.