Эллипти́ческий интегра́л — некоторая функция над полем действительных или комплексных чисел, которая может быть формально представлена в следующем виде:
,
где — рациональная функция двух аргументов, — квадратный корень из многочлена 3-й или 4-й степени, не имеющего кратных корней, — некоторая константа из поля, где определена функция.
В общем случае эллиптический интеграл не может быть формально выражен в элементарных функциях. Исключением являются случаи, когда имеет кратные корни или когда многочлены в не содержат нечётных степеней .
Однако для каждого эллиптического интеграла существуют формулы приведения его к сумме элементарных функций и от одного до трёх нормальных эллиптических интегралов, называемых эллиптическими интегралами 1-го, 2-го и 3-го рода).
История В интегральном исчислении эллиптический интеграл появился в связи с задачей вычисления длины дуги эллипса и был впервые исследован Джулио Фаньяно, а позднее — Леонардом Эйлером.
Обозначения Эллиптические интегралы часто представляют в виде функции ряда различных аргументов. Эти различные аргументы полностью эквивалентны (они дают одни и те же интегралы), но может возникнуть путаница, связанная с их различным происхождением. В большинстве работ авторы придерживаются канонического наименования. Прежде чем определить сами интегралы, необходимо ввести наименования для аргументов:
— модулярный угол (иногда модулярный угол обозначается лигатурой ); — модуль эллиптического интеграла; — параметр.
Следует отметить, что нормальные эллиптические интегралы Лежандра, как полные, так и неполные, являются чётными функциями модуля (и модулярного угла ). Их область определения
Иногда, преимущественно в советской научной литературе, под параметром эллиптического интеграла подразумевают характеристику нормального эллиптического интеграла Лежандра 3-го рода (напр., Корн Г., Корн Т. «Справочник по математике для научных работников и инженеров»).
Заметим, что представленные выше величины определяются одна через другую; определение одной из них задаёт и две остальные.
Эллиптический интеграл зависит также и от другого параметра, который, как и предыдущий, можно ввести несколькими способами:
где — эллиптическая функция Якоби; — амплитуда;
Определение одного из этих параметров определяет остальные. Таким образом, они могут использоваться вперемешку. Заметим, что зависит также и от . Несколько дополнительных уравнений связывают с другими параметрами:
и
Последнее иногда называется дельта амплитуда и записывается как
Иногда в литературе ссылаются на дополнительный параметр, дополнительный модуль или дополнительный модулярный угол. Их вводят следующим способом: — дополнительный параметр; — дополнительный модуль; — дополнительный модулярный угол.
Нормальный эллиптический интеграл 1-го рода (неполный) Нормальный эллиптический интеграл Лежандра 1-го рода определяется как
,
или, в форме Якоби,
.
Обозначения эллиптических интегралов не являются универсально общепринятыми. Следует различать такие разделители между переменной и параметром, как «\», «|» и «,». Там, где в качестве разделителя используется вертикальная черта, за ней ставится параметр интеграла, тогда как за обратной косой чертой ставится модулярный угол. В частности, верно соотношение
.
Частные случаи
Нормальный эллиптический интеграл 2-го рода (неполный) Нормальный эллиптический интеграл Лежандра 2-го рода определяется как
или, используя подстановку
Частные случаи
.
Нормальный эллиптический интеграл 3-го рода (неполный) Нормальный эллиптический интеграл Лежандра 3-го рода определяется как
или
Число называется характеристикой и может принимать любое значение, независимо от остальных аргументов. Свойства эллиптического интеграла 3-го рода существенно зависят от величины характеристики. Заметим, что значение интеграла стремится к бесконечности для любых .
Гиперболический случай
(0 < c < m) Введём дополнительные обозначения:
— полный нормальный эллиптический интеграл Лежандра 1-го рода.
Тогда можно записать интеграл через тета-функции Якоби:
где
и
(c > 1) С помощью подстановки этот случай сводится к предыдущему, так как
Введём дополнительно величину
Тогда:
Круговой случай (m < c < 1) Введем дополнительные обозначения:
Тогда эллиптический интеграл равен:
где
и
(c < 0) С помощью подстановки этот случай сводится к предыдущему, так как
Введем дополнительно величину
Тогда:
Полный нормальный эллиптический интеграл Лежандра 1-го рода
В случае, если амплитуда нормального эллиптического интеграла Лежандра 1-го рода равна , он называется полным нормальным эллиптическим интегралом Лежандра 1-го рода:
или
Полный эллиптический интеграл 1-го рода можно представить в виде степенного ряда:
что эквивалентно выражению
где обозначает двойной факториал.
Полный эллиптический интеграл 1-го рода можно записать через гипергеометрическую функцию следующим образом:
Частные случаи
Производная полного эллиптического интеграла 1-го рода
где — полный нормальный эллиптический интеграл Лежандра 2-го рода, определённый в следующем разделе.
Дифференциальное уравнение Полный эллиптический интеграл 1-го рода является решением дифференциального уравнения
Вторым решением этого уравнения является
Полный нормальный эллиптический интеграл Лежандра 2-го рода
В случае, если амплитуда нормального эллиптического интеграла Лежандра 2-го рода равна , он называется полным нормальным эллиптическим интегралом Лежандра 2-го рода:
или
Полный эллиптический интеграл 2-го рода можно представить в виде степенного ряда:
что эквивалентно выражению
Полный эллиптический интеграл 2-го рода можно записать через гипергеометрическую функцию следующим образом:
Частные случаи
Производная полного эллиптического интеграла 2-го рода
Дифференциальное уравнение Полный эллиптический интеграл 2-го рода является решением дифференциального уравнения
Вторым решением этого уравнения является функция
Полный нормальный эллиптический интеграл Лежандра 3-го рода
Аналогично полным эллиптическим интегралам 1-го и 2-го рода можно ввести полный эллиптический интеграл 3-го рода:
или
Гиперболический случай
(0 < c < m) , где — дзета-функция Якоби.
(c > 1)
Круговой случай
(m < c < 1)
где — лямбда-функция Хеймана.
(c < 0)
Частные производные
Дополнительные эллиптические интегралы (неполные)
Дзета-функция Якоби
Лямбда-функция Хеймана
или
См. также Эллиптические функции Эллиптическая кривая
Специальные функции Аппроксимации эллиптических интегралов
Литература
Ссылки
Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. — М.: Наука, 1977. Бейтмен Г. Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. — Т. 3 (гл. 13). Ахиезер Н. И. Элементы теории эллиптических функций. (гл. 3, 7). Эллиптические функции, Процедуры для Matlab.
Категория:Эллиптические функции Категория:Интегралы