Энергия Уиллмора является численной мерой, отражающей отклонение заданной поверхности от круглой сферы. Математически энергия Уиллмора гладкой замкнутой поверхности, вложенной в трёхмерное евклидово пространство, определяется как интеграл от квадрата средней кривизны минус гауссова кривизна. Термин назван именем английского геометра Томаса Уиллмора.
Определение В символическом выражении энергия Уиллмора поверхности S равна , где является средней кривизной, является гауссовой кривизной, а dA является площадью поверхности S. Для замкнутой поверхности, по формуле Гаусса — Бонне, интеграл гауссовой кривизны может быть вычислен в терминах эйлеровой характеристики поверхности
который является топологическим инвариантом, а потому не зависит от конкретного вложения в . Тогда энергия Уиллмора может выражена как
Альтернативной, но эквивалентной формулой является
где и являются главными кривизнами поверхности.
Свойства Энергия Уиллмора всегда больше или равна нулю. Круглая сфера имеет нулевую энергию Уиллмора.
Энергию Уиллмора можно рассматривать как функционал на пространстве вложений в заданное пространство в смысле вариационного исчисления и можно менять вложение поверхности, оставляя её топологически неизменной.
Критические точки Основной проблемой в вариационном исчислении является поиск критических точек и минимум функционала.
Для заданного топологического пространства это эквивалентно нахождению критических точек функции
поскольку эйлерова характеристика постоянна.
Можно найти минимум (локальный) для энергии Уиллмора с помощью градиентного спуска, который в этом контексте называется потоком Уиллмора.
Для сферы, вложенной в 3-мерное пространство, критические точки классифицировал Брайант — они все являются конформными преобразованиями минимальных поверхностей, круглая сфера является минимумом, а все другие критические значения являются целыми числами, большими или равными 4. Они называются поверхностями Уиллмора.
Поток Уиллмора Поток Уиллмора является , соответствующий энергии Уиллмора. Она является -градиентным потоком.
где H означает среднюю кривизну многообразия .
Линии потока удовлетворяют дифференциальному уравнению:
где лежит на поверхности.
Этот поток приводит к эволюционной задаче в дифференциальной геометрии — поверхность эволюционирует во времени, следуя наиболее крутому уменьшению энергии. Подобно поверхностной диффузии поток является потоком четвёртого порядка, поскольку вариация энергии содержит четвёртую производную.
Приложения Клеточные мембраны стремятся к положению с минимальной энергией Уиллмора. Энергия Уиллмора используется для построения класса оптимальных выворачиваний сфер, минимаксных выворачиваний.
См. также Гипотеза Уиллмора
Примечания
Литература
Категория:Дифференциальная геометрия поверхностей