Деривационные формулы Вайнгартена дают разложение производной единичного вектора нормали к поверхности в терминах первых производных радиус-вектора этой поверхности. Эти формулы выведены в 1861 году германским математиком Юлиусом Вайнгартеном.
Утверждение в классической дифференциальной геометрии Пусть S будет поверхностью в трёхмерном евклидовом пространстве, которая параметризована радиус-вектором поверхности. Пусть будет фиксированной точкой на поверхности. Тогда
являются двумя касательными векторами в точке P.
Пусть n будет единичным вектором нормали и пусть и будут коэффициентами первой и второй квадратичных форм этой поверхности соответственно. Дифференциальные формулы Вайнгартена дают первую производную единичного вектора нормали n в точке P в терминах касательных векторов и :
Эти уравнения можно выразить компактно
,
где Kab являются компонентами тензора кривизны поверхности.
Примечания
Литература
Springer Encyclopedia of Mathematics, Weingarten derivational formulas
, section 45.
Категория:Дифференциальная геометрия поверхностей