Бесконечная система линейных алгебраических уравнений — обобщение понятия системы линейных алгебраических уравнений на случай бесконечного множества неизвестных, определённое методами функционального анализа. Оно имеет смысл не над любым полем, а, например, над вещественными и комплексными числами. Также возможно прямолинейное обобщение методами собственно линейной алгебры, отличное от описанного в статье.
Бесконечная система линейных алгебраических уравнений часто появляется в процессе решения разнообразных задач в физике и технике методом неопределённых коэффициентов, например в задачах теплопроводности, определения перигелия движения Луны в астрономии, в задаче определения статического прогиба прямоугольного тела с закреплёнными концами.
Определение
Бесконечной системой линейных алгебраических уравнений называется бесконечное множество алгебраических уравнений первой степени относительно бесконечного множества неизвестных: , . Решением бесконечной системы линейных алгебраических уравнений называется всякая последовательность чисел , такая, что все ряды , являются сходящимися к . Решение бесконечной системы линейных алгебраических уравнений называется ограниченным, если числа образуют ограниченную последовательность.
Удобно рассматривать бесконечные системы линейных алгебраических уравнений в виде: , , . Бесконечная система линейных алгебраических уравнений называется вполне регулярной, если существует такая положительная постоянная , что .
Вполне регулярная бесконечная система линейных алгебраических уравнений имеет единственное ограниченное решение при любой ограниченной совокупности свободных членов . При этом, если для всех , то .
Бесконечный определитель
В матрице коэффициентов бесконечной линейной системы уравнений можно оставить лишь первые строк и столбцов и составить из них квадратную матрицу размером :
Обозначим определитель этой матрицы как .
Если существует предел: , то он называется бесконечным определителем, соответствующим матрице .
Достаточное условие существования Представим матрицу в новом виде, выделив из её всех диагональных членов слагаемое, равное единице:
Для того, чтобы бесконечный определитель матрицы существовал и обладал свойствами, аналогичными свойствам обычного определителя, достаточно, чтобы бесконечный двойной ряд сходился.
Решение бесконечной системы линейных алгебраических уравнений Если у матрицы бесконечной системы линейных алгебраических уравнений существует и не равен нулю бесконечный определитель и все её свободные члены ограничены по модулю (то есть существует положительное число , такое, что ), то эта система имеет единственное ограниченное решение (то есть существует положительное число , такое, что ), определяемое по формулам Крамера:
,
где — определитель, который получается из определителя заменой элементов k-го столбца свободными членами.
См. также Система линейных алгебраических уравнений
Примечания
Литература
Категория:Линейная алгебра Категория:Алгебраические уравнения Категория:Методы решения СЛАУ Категория:Численные методы линейной алгебры