Аддити́вность в математике — свойство величин, характеристик, функций, значение которых для некоторого целостного объекта равно сумме соответствующих значений для всех частей объекта. Для математических объектов обычно это означает возможность суммирования соответствующих значений при любом разбиении на непересекающиеся части, при этом свойство может быть ограничено количеством частей в разбиении, тогда говорят о конечной аддитивности или счётной аддитивности. В анализе, подчёркивая различие между конечной аддитивностью и счётной аддитивностью, функции, обладающие последним свойством, называют вполне аддитивными.
Классический пример счётно-аддитивных величин — счётно-аддитивные меры, такие как длина, площадь, объём. Угол на плоскости аддитивен, тогда как угол между образующими конуса не является аддитивной величиной. Счётно-аддитивные функции в анализе часто также называют
Отображение обычно считается аддитивным, если , где операция может быть как арифметическим сложением, так и одним и его обобщений. В специфичных теориях понятие может быть уточнено, например, в общеалгебраических структурах, обладающих операцией с нотацией сложения, аддитивным отображением считается гомоморфизм между частями структуры со сложением (такими, как аддитивные группы кольца), а в теории чисел считается обладающая свойством , где и — взаимно просты. Счётно-аддитивная функция множеств рассматривает операцию раздельного объединения как сумму: ; аддитивные функции множеств играют заметную роль в ряде приложений, как, например, аддитивная функция полезности. Для последовательностей свойство аддитивности обычно обозначает выполнение условия , что согласуется с рассмотрением последовательности как функции из множества натуральных чисел — . В теории категорий концепция аддитивности воплощена в понятиях аддитивных и предаддитивных категорий — обогащённых категорий над категорией абелевых групп, а также аддитивных функторов — функторов между предаддитивными категориями, сохраняющих структуру абелевой группы.
Условие аддитивности входит как одно из определяющих для некоторых специальных классов отображений, например, линейных отображений (наряду с однородностью) или в аксиоматическое определение меры множества (наряду со условием нормированности).
Под субаддитивностью (иногда — полуаддитивностью) обычно имеют в виду свойство ; супераддитивность, как правило, подразумевает выполнение ; эти свойства чаще применяются к числовым последовательностям. Аналогичное аддитивности свойство относительно бинарной операции с нотацией умножения называется мультипликативностью.
Аддитивность физической величины означает возможность получить её значение для физического объекта как сумму соответствующих значений всех его составляющих. Среди аддитивных физических величин — электрический заряд, напряжённость магнитного поля, внутренняя энергия, энтропия. При этом, например, масса, в общем случае не является аддитивной величиной: масса системы не равна сумме масс её составляющих, поскольку зависит не только от масс её частей, но и от энергии их взаимодействия (закон сохранения массы), однако для низкоэнергетических процессов (например, в химических реакциях) массу с высокой точностью можно считать аддитивной. Температура, плотность и другие интенсивные величины не являются аддитивными, поскольку суммирование их значений для разных частей тела не имеет физического смысла.
Примечания
Литература
Категория:Математические термины Категория:Физические величины Категория:Типы функций