Представление группы Ли — это линейное действие группы Ли на векторном пространстве или, что то же самое, гладкий гомоморфизм группы Ли в группу обратимых операторов на векторном пространстве. Играет важную роль в изучении непрерывной симметрии в математике и теоретической физике. Представления групп Ли изучены довольно хорошо, основным инструментом их изучения является использование соответствующих «инфинитезимальных» представлений алгебр Ли.
Конечномерные представления Представления Сначала обсудим представления групп Ли, действующих на конечномерное векторное пространство над полем комплексных чисел . (Иногда рассматриваются также представления в пространствах над полем действительных чисел.) Представлением группы Ли в -мерном векторном пространстве над тогда называют гладкий гомоморфизм групп
,
где — полная линейная группа всех обратимых линейных преобразований относительно композиции. Поскольку все -мерные пространства изоморфны, группу можно отождествить с группой обратимых комплексных обычно . Гладкость отображения можно заменить на более слабое условие непрерывности, поскольку любой непрерывный гомоморфизм автоматически будет гладким.
По-другому можно вместо представления группы Ли говорить о линейном действии на векторном пространстве . Тогда вместо действие элемента группы на вектор будет обозначаться просто .
Типичная ситуация возникновения представлений в физике — исследование линейного дифференциального уравнения в частных производных, имеющего группу симметрии . Хотя отдельные решения уравнения могут быть не инвариантны под действием , пространство всех решений инвариантно под действием . Таким образом, образует собой представление . См. пример , обсуждаемый ниже.
Основные определения Если гомоморфизм инъективен (то есть мономорфизм), то представление называется точным.
Если выбран базис для комплексного векторного пространства , то представление может быть выражено как гомоморфизм в общую линейную группу . Это так называемое матричное представление. Два представления на векторных пространствах , эквивалентны, если они имеют одинаковые матричные представления при некотором выборе базисов и .
Подпространство пространства называется инвариантным подпространством относительно представления , если для всех и . Представление называется неприводимым, если единственными инвариантными подпространствами являются нулевое пространство и само . Некоторые типы групп Ли, а именно компактные и полупростые группы, обладают свойством, известным как полная приводимость: говорят, что группа вполне приводима, если каждое её конечномерное представление разлагается в прямую сумму неприводимых представлений. Для таких групп основной целью теории представлений является классификация всех конечномерных неприводимых представлений данной группы с точностью до изоморфизма (см. раздел классификации ниже.)
на конечномерном евклидовом или эрмитовом пространстве определяется так же, только отображает в группу унитарных операторов. Если является , то каждое конечномерное представление эквивалентно унитарному.
Представления алгебры Ли Каждое представление группы Ли порождает представление ее алгебры Ли; это соответствие подробно обсуждается в последующих разделах. См. представление алгебры Ли для теории алгебры Ли.
Пример: группа вращений SO(3) В квантовой механике играет важную роль стационарное уравнение Шрёдингера . В трёхмерном случае, если имеет вращательную симметрию, то пространство решений будет инвариантным относительно действия . Таким образом, будет — для каждого конкретного значения — образовывать собой представление , которое обычно оказывается конечномерным. Поэтому при попытке решить уравнение помогает знание о том, как выглядят все возможные конечномерные представления . Теория представлений играет ключевую роль, например, в построении математической модели атома водорода.
Каждый стандартный учебник по квантовой механике содержит классификацию конечномерных неприводимых представлений с помощью её алгебры Ли. (Коммутационные соотношения между операторами углового момента — это просто соотношения для алгебры Ли , соответствующей группе Ли .) Одна из тонкостей заключается в том, что представления группы и алгебры Ли не находятся во взаимно однозначном соответствии, что имеет решающее значение для понимания различия между целочисленным спином и полуцелочисленным спином.
Обычные представления Группа вращений SO(3) является компактной группой Ли, и поэтому каждое конечномерное представление разлагается в прямую сумму неприводимых представлений. Группа имеет одно неприводимое представление в каждом нечётном измерении. Для каждого неотрицательного целого числа неприводимое представление размерности может быть реализовано как пространство однородных гармонических многочленов на степени . Здесь действие на поднимается на функции из стандартным образом:
Ограничением на единичную сферу элементов являются сферические гармоники степени .
Если, скажем, , то все однородные многочлены первой степени являются гармоническими, и мы получаем трехмерное пространство , порождённое линейными формами , и . Если , то пространство порождено , , , , и .
Как отмечалось выше, конечномерные представления возникают естественным образом при изучении стационарного уравнения Шредингера для сферически симметричного потенциала, такого как у атома водорода, как отражение вращательной симметрии задачи. (См. роль сферических гармоник в математическом анализе водорода.)
Проективные представления Если мы посмотрим на алгебру Ли группы Ли , то эта алгебра Ли изоморфна алгебре Ли , соответствующей группе Ли . Согласно тогда существует одно неприводимое представление в каждой размерности. Чётномерные представления, однако, не соответствуют представлениям группы . Эти так называемые спинорные представления, однако, соответствуют проективным представлениям. Эти представления возникают в квантовой механике частиц с полуцелым спином, таких как электрон.
Операции над представлениями В этом разделе мы опишем три основные операции над представлениями. См. также соответствующие конструкции для представлений алгебры Ли.
Прямые суммы представлений Если у нас есть два представления группы , и , то прямая сумма будет иметь в качестве базового векторного пространства, с действием группы, заданной
для всех , и .
Некоторые типы групп Ли — в частности, компактные группы Ли — обладают тем свойством, что каждое конечномерное представление изоморфно прямой сумме неприводимых представлений. В таких случаях классификация представлений сводится к классификации неприводимых представлений. См. .
Тензорные произведения представлений
Если у нас есть два представления группы , и , то тензорное произведение представлений будет иметь векторное пространство тензорного произведения в качестве базового векторного пространства, причем действие однозначно определяется предположением, что
для всех и . То есть так сказать, .
Представление алгебры Ли , связанное с представлением тензорного произведения , задается формулой:
Тензорное произведение двух неприводимых представлений обычно не является неприводимым; основная задача теории представлений состоит в том, чтобы разложить тензорные произведения неприводимых представлений как прямую сумму неприводимых подпространств. Эта проблема в литературе по физике называется сложением углового момента или теорией Клебша-Гордана.
Двойственные представления
Пусть — группа Ли, и — представление . Пусть — двойственное пространство, то есть пространство линейных функционалов на . Тогда мы можем определить представление по формуле
где для любого оператора сопряжённый оператор определяется как:
(В фиксированном базисе — это просто обычное транспонирование матрицы .) Взятие обратного в определении необходимо для того, чтобы действительно оказалось представлением , так как в тождестве происходит перемена мест множителей и без взятия обратного получился бы не гомоморфизм, а антигомоморфизм.
Двойственное к неприводимому представлению всегда неприводимо, но может быть или не быть изоморфно исходному представлению. В случае группы , например, неприводимые представления соответствуют парам неотрицательных целых чисел. Двойственное представление, соответствующее — это представление, соответствующее .
Представления группы Ли и её алгебры Ли
Обзор Как правило, удобно изучать представления группы Ли, изучая представления её касательной алгебры Ли. В общем случае, однако, не каждое представление алгебры Ли происходит из представления группы. Этот факт, например, лежит в основе различия между целочисленным и полуцелочисленным спинами в квантовой механике. С другой стороны, если является односвязной группой, то есть теорема о том, что соответствие между представлениями группы и алгебры Ли будет взаимно однозначным.
Пусть — группа Ли с алгеброй Ли и пусть дано этой алгебры . Соответствие Ли может быть использовано для получения представлений связной компоненты группы . Грубо говоря, это достигается путём взятия экспоненты от матриц представления алгебры Ли. Тонкость возникает, если не является односвязной — тогда появляются проективные представления; это представления .
Эти результаты будут более подробно объяснены ниже.
Соответствие Ли даёт результаты только для связных компонент групп, и поэтому для задания представления всей группы необходимо задать по представителю для каждой компоненты. Они образуют (представляют) нулевую гомотопическую группу . Например, в случае четырехкомпонентной группы Лоренца представители центральной симметрии пространства и обращения времени должны быть введены вручную.
Экспоненциальное отображение
Если — это группа Ли с алгеброй Ли , то мы имеем экспоненциальное отображение от до , записанное в виде
Если — матричная группа Ли, то выражение может быть вычислено обычным степенным рядом для экспоненты. Для любой группы Ли существуют окрестность единицы в и окрестность нуля в такие, что каждый в может быть записан однозначно как с . Иными словами, экспоненциальное отображение локально обратимо. В большинстве групп это только локальное свойство; то есть экспоненциальное отображение обычно не является ни биекцией, ни сюръекцией.
Представления алгебры Ли из групповых представлений Всегда можно перейти от представления группы Ли к представлению её алгебры Ли . Если является групповым представлением для некоторого векторного пространства , то его дифференциал, или отображение Ли, является представлением алгебры Ли. Он задаётся явной формулой
Основное свойство, связывающее и , использует экспоненциальное отображение:
Вопрос, который мы хотим исследовать, состоит в том, возникает ли каждое представление таким образом из представлений группы . Как мы увидим, так происходит в том случае, когда односвязно.
Групповые представления из представлений алгебры Ли Главным результатом этого раздела является следующая:
Теорема: если односвязна, то каждое представление алгебры Ли , соответствующей , происходит из представления самой .
Из этого легко выводится:
Следствие: если связна, но не односвязна, то каждое представление алгебры происходит от представления группы — универсальной накрывающей . Если неприводимо, то спускается на проективные представления . Проективное представление — это такое, в котором каждое определяется только с точностью до умножения на константу. В квантовой физике естественно допускать проективные представления в дополнение к обычным, потому что состояния действительно определяются только с точностью до умножения на константу (то есть, если является вектором в квантовом