Симметрии в квантовой механике — преобразования пространства-времени и частиц, которые оставляют неизменными уравнения квантовой механики. Рассматриваются во многих разделах квантовой механики, которые включают релятивистскую квантовую механику, квантовую теорию поля, стандартную модель и физику конденсированного состояния. В целом, симметрия в физике, законы инвариантности и сохранения являются основополагающими ограничениями для формулирования физических теорий и моделей. На практике это мощные методы решения задач и прогнозирования того, что может случиться. Хотя законы сохранения не всегда дают конечное решение проблемы, но они формируют правильные ограничения и наметки к решению множества задач.

В этой статье описывается связь между классической формой непрерывных симметрий, а также их квантовыми операторами, которые связывают их с группами Ли и релятивистскими преобразованиями в группе Лоренца и группе Пуанкаре.

Обозначения Условные обозначения, используемые в этой статье, следующие. Жирным шрифтом обозначены векторы, 4-векторы, матрицы и векторные операторы, в то время как квантовые состояния обозначаются скобками (бра и кет нотация). Широкие шляпки предназначены для операторов, узкие — для единичных векторов (включая их компоненты в тензорных индексах). Если не указано иное, используется соглашение о суммировании повторяющихся тензорных индексов. Метрическая сигнатура пространства Минковского (+ −−−).

Преобразования симметрии волновой функции в нерелятивистской квантовой механике

Непрерывные симметрии Как правило, соответствие между непрерывными симметриями и законами сохранения дается квантовым аналогом теоремы Нётер.

Форма фундаментальных квантовых операторов, например энергии как частной производной по времени и импульса как градиента (от пространственных координат), становится ясной, если рассмотреть начальное состояние, а затем немного изменить один из его параметров. Такой подход работает для смещения (длины), продолжительности (времени) и углов (вращения). Кроме того, инвариантность некоторых величин можно увидеть, проделав преобразования длин и углов, что свидетельствует о сохранении этих величин.

В дальнейшем рассмотрим преобразования только для одночастичных волновых функций вида:

где обозначает унитарный оператор. Унитарность обычно требуется для операторов, представляющих преобразования пространства, времени и спина, поскольку норма состояния (представляющая полную вероятность нахождения частицы с некоторым спином в некотором объёме пространства) должна быть инвариантной относительно этих преобразований. Обратное преобразование задаётся эрмитовым сопряжением . Эти результаты можно распространить на многочастичные волновые функции. В нотации Дирака преобразования квантовых состояний:

Тогда действие оператора преобразует волновую функцию ψ (r, t) в ψ (r ′, t ′), так что обратный оператор заменяет ψ (r ′, t ′) на ψ (r, t), поэтому какой-либо оператор будет инвариантен относительно преобразования при условии

и поэтому:

для любых состояний ψ. Квантовые операторы, соответствующие наблюдаемым, также должны быть эрмитовыми, чтобы их собственные значения были действительными числами, то есть оператор равен своему эрмитово сопряженному, .

Обзор теории групп Ли Ниже приведены ключевые положения теории групп, относящиеся к квантовой теории, а примеры приводятся на протяжении всей статьи. В альтернативном подходе используются группы матриц (см. Книги Холла)

Пусть G — группа Ли, которая локально параметризуется конечным числом N действительных непрерывно меняющихся параметров ξ 1, ξ 2 ,. . . ξ N. Или на другом языке это означает, что G — гладкое многообразие, которое также является группой, с гладкими групповыми операциями.

Размерность группы равна N — то есть равно количеству параметров группы. элементы группы g в G — это функции параметров:

и когда все параметры обнулены, то это соответствует нейтральному элементу группы:

Элементы группы часто представляются в виде матриц, действующих на векторы, или преобразований, действующих на функции.

Генераторы группы — это частные производные элементов группы по параметрам группы в точке, когда параметр равен нулю, а именно

На языке многообразий генераторы группы — это элементы касательного пространства к G в единице. Генераторы также известны как элементы инфинитезимальной группы или как элементы алгебры Ли группы G. (См. Обсуждение коммутатора ниже.) Одно из преимуществ генераторов в теоретической физике заключается в том, что этим операторам соответствуют симметрии, которые можно записать в виде матриц или как дифференциальных операторов. В квантовой теории для унитарных представлений группы, генераторы умножаются на i :

Генераторы группы образуют векторное пространство, что означает, что линейные комбинации генераторов также образуют генератор.

Генераторы (матрицы или дифференциальные операторы) удовлетворяют коммутационным соотношениям :

где f abc — (зависящие от базиса) структурные константы группы. Вместе со свойствами векторного пространства генераторы группы задают базис алгебры Ли. Из-за антисимметрии скобок (коммутатора) структурные константы группы антисимметричны по первым двум индексам.

Представления группы описывают способы, которыми группа G (или её алгебра Ли) действует в векторном пространстве. (В качестве векторного пространства можно взять, например пространство собственных векторов гамильтониана, имеющего G в качестве группы симметрии.) Обозначим представления через заглавную D. Затем можно дифференцировать D, чтобы получить представление алгебры Ли, часто также обозначаемое D. Эти два представления связаны следующим образом:

без суммирования по повторяющемуся индексу j. Представления группы — это линейные операторы, поставленные в соотствие каждому элементу группы и для которых выполняется правило композиции:

Представление, которое не может быть разложено в прямую сумму других представлений, называется неприводимым . Неприводимые представления принято помечать верхним индексом n в скобках, как например в D (n), или, если имеется более одного числа, то записывают D (n, m,. . . ) .

В квантовой теории возникает дополнительная тонкость: два вектора, различающиеся скалярным множителем, задают одно и то же физическое состояние. Тогда подходящим понятием представления выбирают проективное представление, которое удовлетворяет закону композиции только с точностью до скалярного множителя. В контексте квантово-механического спина такие представления называются спинорным.

Импульс и энергия как генераторы переноса, эволюции во времени и вращения Оператор пространственных трансляций действует на волновую функцию, сдвигая пространственные координаты на бесконечно малое смещение Δ r. Явное выражение для оператора можно получить с помощью разложения в ряд Тейлора ψ (r + Δ r, t) в окрестности r, а затем (сохраняя член первого порядка и пренебрегая членами второго и более высоких порядков), заменить пространственные производные (градиент) оператором импульса . Точно так же для оператора сдвига по времени, действующего на параметр времени, в разложении в ряд Тейлора для ψ (r, t + Δ t) в окрестности t, заменяют производную по времени оператором энергии .

{|class="wikitable" |- !Название !Оператор трансляций !Оператор эволюции во времени |- !Действие на волновую функцию

!Инфинитезимальный оператор

!конечный оператор

!Генератор |Оператор импульса |Оператор энергии

Экспоненциальные функции возникают по определению данному Эйлером, и их физический и математический смысл понимается следующим образом. Чистый перенос состоит из множества небольших переносов, поэтому, чтобы получить оператор сдвига для конечного приращения, нужно заменить Δ r на Δ r / N и Δ t на Δ t / N, где N — положительное ненулевое целое число. Затем с увеличением N величина Δ r и Δ t становится ещё меньше, при этом их величины остаются неизменными. Действие инфинитезимальных операторов на волновую функцию N раз и переход к пределу, когда N стремится к бесконечности, приводит к виду конечных операторов.

Трансляции пространства и времени коммутируют, что также означает коммутацию их операторов и генераторов.

{|class="wikitable" |+Коммутаторы !Операторы

!Генераторы

Для гамильтониана, не зависящего явно от времени, энергия сохраняется во времени, а квантовые состояния называются стационарными состояниями: собственные состояния гамильтониана — это собственные значения энергии E:

и все стационарные состояния принимают вид

где t 0 — начальный момент времени, обычно равны нулю, поскольку при выборе начального времени непрерывность не нарушается.

В других обозначениях можно записать .

Угловой момент как генератор вращения

Орбитальный угловой момент Оператор вращения действует на волновую функцию таким образом, что пространственные координаты частицы поворачиваются на постоянный угол Δ θ :

где r ′ обозначают повернутые вокруг оси координаты. Ось задаётся единичным вектором а поворот — через угловое приращение Δ θ, определяемое по формуле :

где матрица вращения, зависящая от оси и угла. На языке групп, матрицы вращения — это элементы группы, а углы и ось  — параметры трехмерной специальной ортогональной группы SO (3). Матрицы вращения вокруг стандартного базиса декартовой системы на угол , и соответствующие образующие поворотов :

В более общем смысле для вращений вокруг оси, определяемой вектором , элемены матрицы вращения задаются

где δ ij — символ Кронекера, а ε ijk — символ Леви-Чивиты .

Неочевидно как определить оператор вращения по сравнению с трансляциями пространства и времени. Можно рассмотреть частный случай (вращение вокруг оси x, y или z), а затем вывести общий результат или напрямую использовать общую матрицу вращения и тензорные индексы с δij и εijk . Чтобы вывести оператор бесконечно малого вращения, который соответствует малому Δ θ, мы используем приближения малых углов sin (Δ θ) ≈ Δ θ и cos (Δ θ) ≈ 1 и тейлоровское разложение в окрестности r или r i при сохранении только первого порядка и в конце подставим компоненты оператора углового момента.

{| class="wikitable" |- ! ! Поворот вокруг ! Поворот вокруг |- ! Действие на волновую функцию

! Инфинитезимальный оператор

!Инфинитезимальные повороты | | аналогично |- !Конечные повороты | | аналогично |- ! Генератор || z-компонента оператора углового момента || Оператор полного углового момента .

Z -компоненту оператора углового момента можно заменить на проекцию вдоль оси, определяемой вектором , используя скалярное произведение .

Опять же, конечное вращение можно выполнить используя множество небольших вращений, заменяя Δ θ на и переходя к пределу, когда N стремится к бесконечности. Это приводит к оператору вращения для конечного вращения.

Вращения вокруг одной и той же оси коммутируют, например, поворот на углы θ 1 и θ 2 вокруг оси i можно записать

Однако вращения вокруг разных осей не коммутируют. Общие правила коммутации операторов углового момента

В этом смысле орбитальный угловой момент описывает вращения. Каждый из вышеперечисленных коммутаторов можно легко представить, взяв повседневный объект и повернув его последовательно на один и тот же угол вокруг оси 1 и оси 2 или наоборот вокруг оси 2 и оси 1 — окончательные положения тела окажутся разными.

В квантовой механике есть ещё одна форма вращения, которая математически кажется похожей на орбитальный случай, но имеет другие свойства, описанные ниже.

Спин Все предыдущие величины имеют классические аналоги. Спин — это величина, которой обладают частицы в квантовой механике без какого-либо классического аналога, имеющая размерность единицы углового момента. Оператор вектора спина обозначается . Собственные значения его компонент — это возможные величины (в единицах ) измерения спина, спроецированного на базисные вектора.