Целочисленный квантовый эффект Хо́лла (ЦКЭХ, обыкновенный квантовый эффект Холла, целый квантовый эффект Холла) — макроскопический квантовый эффект, проявляющийся в квантовании холловского сопротивления и исчезновении удельного сопротивления. Эффект квантования холловского сопротивления или проводимости двумерного электронного газаСлюсар В. И. Наноантенны: подходы и перспективы // Электроника: Наука, Технология, Бизнес. — 2009. — № 2. — С. 61. был открыт Клаусом фон Клитцингом совместно с Герхардом Дордой и Майклом Пеппером в 1980 годуK. v. Klitzing, G. Dorda, M. Pepper New Method for High-Accuracy Determination of the Fine-Structure Constant Based on Quantized Hall Resistance Phys. Rev. Lett. 45, 494 (1980) , за что в 1985 году получил Нобелевскую премию.
Является квантово-механической версией классического эффекта Холла, который наблюдается в двумерных электронных системах, при достаточно низких температурах и сильных магнитных полях, в которых сопротивление Холла демонстрирует ступенчатую зависимость, принимающие определённые постоянные значения на плато равные:
где — напряжение Холла, — ток канала, — элементарный заряд, а — постоянная Планка. В общем случае множитель может принимать значения в целых числах (). Для графена были найдены также плато с . Яркой особенностью целочисленного квантового эффекта Холла является сохранение квантования холловского сопротивления при изменении концентрации электронов или внешнего магнитного поля даже при наличии беспорядка. ЦКЭФ отличают от возвратного квантового эффекта Холла, квантового аномального эффекта Холла, квантового спинового эффекта Холла, квантового топологического эффекта Холла.
История
В 1957 году в лабораториях Белла и Линкольн Дерик изготовили первые полевые транзисторы на основе диоксида кремния, а также первые транзисторы, в которых сток и исток были расположены рядом на поверхности. Впоследствии в 1960 году в Bell Labs группа продемонстрировала работающий МОП-транзистор. Это позволило физикам изучить поведение электронов в почти идеальном двумерном газе. В МОП-транзисторе электроны проводимости перемещаются в тонком приповерхностном слое, а напряжение «затвора» управляет числом носителей заряда в этом слое. Это позволяет исследователям изучать квантовые эффекты в высокочистых МОП-транзисторах при температурах жидкого гелия.
Целочисленное квантование проводимости Холла было первоначально предсказано исследователями Токийского университета Цунэя Андо, Юкио Мацумото и Ясутада Уэмура в 1975 году на основе приблизительного расчёта, который они сами не считали верным. В 1978 году плато на захисимости холловского удельного сопротивления от концентрации наблюдали Эншлерт и Клитцинг. В 1978 году исследователи из Университета Гакусюин Дзюнъити Вакабаяси и Синдзи Кавадзи наблюдали плато на зависимости Холловскогй проводимости от магнитного поля в экспериментах, проведённых на инверсионном слое МОП-транзисторов.
В 1980 году Клаус фон Клитцинг, работая в лаборатории сильных магнитных полей в Гренобле с разработанными Майклом Пеппером и Герхардом Дордой образцами МОП-транзисторов на основе кремния, сделал неожиданное открытие. Он показал, что сопротивление Холла точно квантуется. Одновременно продольное сопротивление на этих плато обращалось в нуль, указывая на состояние с бездиссипативным током на краях образца. За это открытие фон Клитцинг был удостоен Нобелевской премии по физике 1985 года. Связь между точным квантованием и калибровочной инвариантностью была впоследствии предложена Робертом Лафлином, который связал квантованную проводимость с квантованным переносом заряда в зарядовом насосе Лафлина. В 1982 году Д. Таулесс с коллегами предложили связать КЭХ с топологическими инвариантами зон электронной структуры. В их работе был введён целочисленный топологический индекс — число Черна, возникающий из интеграла от кривизны Берри по заполненной зоне Бриллюэна, который соответствовал наблюдаемому целому числу ν на холловских плато. Таким образом, квантованная проводимость интерпретировалась как топологически защищённая характеристика системы, нечувствительная к беспорядку. Одновременно Б. Гальперин показал, что на границах образца обязательно существуют однонаправленные бездиссипативные краевые состояния, которые переносят ток при и связывают целочисленное квантование с условием одновременного зануления продольного сопротивления. Аргументы Лафлина и Таулесса имели изъяны, в частности из-за зависимости результата от определённых граничных условий, и рассматривались не как исчерпывающее объяснение КЭХ, поэтому впоследствии не раз уточнялись. Математически строгое описание КЭХ появилось в 2015 году. В 2016 году за теоретические открытия топологических фазовых переходов и топологических фаз вещества Д. Таулесс получил Нобелевскую премию по физике.
Описание
Эффект Холла
Явление, открытое Холлом в 1879 году, состоит в том, что в проводнике с током, помещённом в магнитное поле, перпендикулярное направлению тока, возникает электрическое поле в направлении, перпендикулярном направлениям тока и магнитного поля. Сила Лоренца заставляет электроны отклоняться в направлении, перпендикулярном их скорости . В результате происходит накопление разноимённых зарядов на краях проводника, и между боковыми гранями образца возникнет разность потенциалов , а внутри него — электрическое поле EH, называемое полем Холла и уравновешивающее силу Лоренца.
Ток через образец равен , где — концентрация электронов, — площадь поперечного сечения проводника: , где — его ширина, — толщина. Условие равенства силы Лоренца и силы, вызванной холловским полем, есть , откуда следует, что , где называется холловским сопротивлением. В двумерных системах , где — поверхностная концентрация электронов.
— это отношение возникающей поперечной разности потенциалов к продольному току, . При этом продольное сопротивление , слабо зависит от индукции магнитного поля, оставаясь по величине близким к своему значению при .
Проводимость для вырождённого двумерного электронного газа в перпендикулярном магнитном поле описывается классическими формулами Друде — Лоренца:
где — циклотронная частота, — элементарный заряд, — эффективная масса электрона, — время рассеяния. Эти формулы применимы при условии слабого магнитного поля (), когда не зависит от энергии, а спектр энергии изотропен.
Двумерный электронный газ
На классические заряженные частицы, движущиеся в магнитном поле, действует сила Лоренца. Эта сила заставляет частицу двигаться по окружности с угловой скоростью . Согласно квантовой теории частицы, совершающие периодическое движение, обладают только дискретными значениями энергии, поэтому у заряженных частиц в магнитном поле появляются уровни энергии, называемые уровнями Ландау. Энергия k-го уровня, если пренебречь составляющей импульса вдоль напраления магнитного поля и наличием спина у частицы, определяется выражениемЛ. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц «Теоретическая физика», в 10 т, т. 3 «Квантовая механика (нерелятивистская теория)», М., Физматлит, 2002, 808 с., ISBN 5-9221-0057-2 (т. 3), гл. 15 «Движение в магнитном поле», п. 112 «Движение в однородном магнитном поле», c. 554—559;:
Двумерный электронный газ конечной ширины и длины в магнитном поле вдоль оси и электрическом поле вдоль испытывает напряжение между границами, что влияет на холловскую проводимость даже в бесстолкновительном пределе . Гамильтониан электрона:
где — оператор импульса, а — векторный потенциал в калибровке Ландау. При волновые функции осциллятора:
где , — магнитная длина, — циклотронная частота, а — полином Эрмита. Спектр энергии:
Холловская проводимость вычисляется путём интегрирования плотности тока по для всех занятых состояний:
где функция Ферми выбирает заполненные состояния.
Энергетический спектр двумерного электронного газа дискретный и каждый энергетический уровень обладает следующим вырождением (число орбит, которые могут принадлежать уровню Ландау):
где — квант магнитного потока. Это аналогично плотной упаковке циклотронных орбит в двумерном слое. Эту же величину можно получить, если представить, что из всех частиц двумерного электронного газа, расположенных в интервале энергий, равных (то есть произведение двумерной плотности состояний на энергию ), формируется отдельный уровень Ландау. Концентрация электронов в двумерном электронном газе в магнитном поле определяется по формуле , если уровень Ферми попадает в щель между уровнями Ландау. В общем случае частичное заполнение одного из уровней Ландау характеризуется фактором заполнения — отношение концентрации двумерного электронного газа к вырождению уровней Ландау. Он может принимать как целые, так и дробные значения.
Число состояний на уровне Ландау при конечной ширине равно , и холловская проводимость:
где — фактор заполнения, отражающий число заполненных уровней Ландау.
Роберт Лафлин связывает квантуемую проводимость с калибровочной инвариантностью. При калибровочном преобразовании , где — магнитный поток, волновой вектор сдвигается . При спектр энергии остаётся неизменным, но состояния смещаются на , что приводит к полному току:
где суммирование ограничено уровнями Ландау, пересекающими уровень Ферми. В пределе , , что возвращает к формуле для холловской проводимости. Этот результат демонстрирует, что квантование холловской проводимости обусловлено калибровочной инвариантностью, с краевыми состояниями, поддерживающими квантование при изменении потока.
Целочисленный квантовый эффект Холла Альтернативно, сопротивление Холла описывается следующим выражением:
где — фактор заполнения, а — магнитная длина. Эта формула остается справедливой даже при сильных магнитных полях () и не зависит от беспорядка в системе. При нулевой температуре фактор заполнения становится ступенчатой функцией:
где — химический потенциал, — функция Хевисайда. Такое ступенчатое поведение приводит к наблюдаемым квантованным плато на графиках сопротивления Холла, где принимает дискретные значения, пропорциональные , что характеризует целочисленный квантовый эффект Холла.
Экспериментальное наблюдение целочисленного квантового эффекта Холла впервые было продемонстрировано Клаусом фон Клитцингом. В его эксперименте использовался двумерный электронный газ, созданный в полевом МОП-транзисторе на основе кремния. Измерения проводились при температуре 1,5 К и магнитном поле 18 Т, с изменением концентрации электронов с помощью напряжения на затворе. Сопротивление Холла показало квантованные плато, соответствующие целым значениям при этом продольное сопротивление обращалось в ноль на этих плато, что указывало на отсутствие диссипативного переноса.
Уже первая работа по квантовому эффекту Холла — «Новый метод определения постоянной тонкой структуры с высокой точностью по квантованию холловского сопротивления» — показала, что возможно его применение в качестве стандарта сопротивления. Дальнейшие эксперименты, проведённые Цуи и Госсардом, подтвердили эти результаты в гетероструктурах GaAs/AlGaAs при 4,2 К и магнитных полях до 10 Т. Квантование сопротивления достигло точности порядка , а позднее — . Квантовый эффект Холла наблюдался на графене при комнатной температуре благодаря большим энергетическим промежуткам между уровнями Ландау, порядка К. В настоящее время известно, что значения квантованного сопротивления Холла не зависят от качества образца и его материала. Поэтому, начиная с 1990 года, калибровки сопротивлений основаны на КЭХ с фиксированным значением . Однако после переопределения основных физических констант в 2019 году значение кванта электрического сопротивления составляет