Додекаэдр БилинскогоУ. Болл, Г. Коксетер. Математические эссе и развлечения. — М.: Мир, 1986. — Стр. 157. — многогранник (зоноэдр), составленный из 12 одинаковых золотых ромбов.
Топологически изоморфен ромбододекаэдру, но, в отличие от него, не является изоэдральным (хотя всего его грани также конгруэнтны) и имеет другую группу симметрии.
Грани додекаэдра Билинского — ромбы с отношением диагоналей, равным золотому сечению они несколько более вытянуты, чем грани ромбододекаэдра, представляющие собой ромбы с отношением диагоналей
Имеет 14 вершин. В 2 вершинах сходятся четыре грани своими острыми углами; в сходятся три грани тупыми углами; в сходятся одна грань острым углом и две тупыми; в сходятся три грани острыми углами и одна тупым.
У додекаэдра Билинского 24 ребра равной длины. При 12 рёбрах (примыкающих к вершинам, отмеченным на рисунке ) двугранные углы равны при 8 рёбрах (между и вершинами) — при 4 рёбрах (между чёрной и вершинами) —
В координатах
Додекаэдр Билинского можно расположить в декартовой системе координат так, чтобы его вершины имели координаты
При этом центр симметрии многогранника будет совпадать с началом координат, три оси симметрии — с осями Ox, Oy и Oz, а три плоскости симметрии — с плоскостями xOy, xOz и yOz.
Метрические характеристики
Если додекаэдр Билинского имеет ребро длины , его площадь поверхности и объём выражаются как
История
Впервые данный многогранник встречается под названием «додекаромб» в 1752 году на иллюстрации в книге английского математика John Lodge Cowley. Geometry Made Easy; Or, a New and Methodical Explanation of the Elements of Geometry. — London, 1752. — Plate 5, Fig. 16...
Заново найден в 1960 году хорватским математиком Станко Билинским., который назвал его «ромбическим додекаэдром второго рода».. Открытие Билинского заполнило остававшийся незамеченным 75 лет пробел в классификации выпуклых многогранников с конгруэнтными ромбическими гранями, описанной Евграфом Фёдоровым..
Гарольд Коксетер в статье 1962 года. ошибочно утверждал, что додекаэдр Билинского может быть получен аффинным преобразованием ромбододекаэдра. Это утверждение ложно.
Примечания
Ссылки
David I. McCooey. Bilinski's Dodecahedron
Категория:Зоноэдры